Изохорный процесс

Иллюстрация зависимости давления от температуры при постоянном объёме

Наиболее часто первые исследования изохорного процесса связывают с Гийомом Амонтоном. В своей работе «Парижские мемуары» в 1702 году он описал поведение газа в фиксированном объёме[Комм 1] внутри так называемого «воздушного термометра». Жидкость в нём находится в равновесии под воздействием давления газа в резервуаре и атмосферным давлением. При нагревании давление в резервуаре увеличивается, и жидкость вытесняется в выступающую трубку. Зависимость между температурой и давлением была установлена в виде[1][Комм 2]:

${\displaystyle {\frac {p_{1}}{p_{2}}}={\frac {1+\alpha t_{1}}{1+\alpha t_{2}}}.}$

В 1801 году Джон Дальтон в двух своих эссе опубликовал эксперимент, в котором установил, что все газы и пары, исследованные им при постоянном давлении, одинаково расширяются при изменении температуры, если начальная и конечная температура одинакова[2][3][4]. Данный закон получил название закона Гей-Люссака, так как Гей-Люссак вскоре провёл самостоятельные эксперименты и подтвердил одинаковое расширение различных газов, причём получив практически тот же самый коэффициент, что и Дальтон[4]. Впоследствии он же объединил свой закон с законом Бойля — Мариотта[5], что позволило описывать в том числе и изохорный процесс.

График изохорного процесса на диаграмме в координатах ${\displaystyle P,\ V}$

Графики изопроцессов в идеальном газе

Из определения работы следует, что элементарная работа при термодинамическом процессе равна[6][Комм 3]:

${\displaystyle \delta A=PdV.}$

Чтобы определить полную работу процесса проинтегрируем данное выражение[6]:

${\displaystyle A=\int \limits _{V_{1}}^{V_{1}}PdV,}$

но, поскольку объём неизменен, то есть ${\displaystyle \Delta V=0}$, то такой интеграл равен нулю. Поэтому при изохорном процессе газ работы не совершает[7]:

${\displaystyle A=0.}$

Это же можно показать на графике изохорного процесса. С математической точки зрения, работа процесса равна площади такого графика[6]. Но график изохорного процесса является прямой перпендикулярной к оси объёма. Таким образом, площадь под ним равна нулю.

Изменение внутренней энергии идеального газа можно найти по формуле[8]:

${\displaystyle \Delta U={\frac {i}{2}}\nu R\Delta T,}$

где ${\displaystyle i}$ — число степеней свободы, которое зависит от количества атомов в молекуле газа (3 — для одноатомной (например, неон), 5 — для двухатомной (например, кислород) и 6 — для трёхатомной и более (например, молекула водяного пара)).

Из определения и формулы теплоёмкости формулу для внутренней энергии можно переписать в виде[8]:

${\displaystyle \Delta U=\nu \ c_{v}^{\mu }\ \Delta T,}$

где ${\displaystyle c_{v}^{\mu }}$ — молярная теплоёмкость при постоянном объёме.

Используя первое начало термодинамики можно найти количество теплоты при термодинамическом процессе[9]:

${\displaystyle Q=\Delta U+A.}$

Но при изохорном процессе газ не выполняет работу[7]. То есть, имеет место равенство:

${\displaystyle Q=\Delta U=\nu \ c_{v}^{\mu }\ \Delta T,}$

таким образом, вся теплота, которую получает газ, идёт на изменение его внутренней энергии.

Поскольку в системе при изохорном процессе происходит теплообмен с внешней средой, то происходит изменение энтропии. Из определения энтропии следует[10]:

${\displaystyle dS={\delta Q \over T},}$

где ${\textstyle \delta Q}$ — элементарное количество теплоты[11][Комм 3].

Выше была выведена формула для определения количества теплоты. Если её переписать в дифференциальном виде[12][Комм 4]:

${\textstyle \delta Q=\nu \ c_{v}^{\mu }\ dT,}$

где ${\displaystyle \nu }$ — количество вещества,

${\textstyle c_{v}^{\mu }}$ — молярная теплоемкость при постоянном объёме.

Микроскопическое изменение энтропии при изохорном процессе можно определить по формуле[12]:

${\textstyle dS={\nu \ c_{v}^{\mu }\ dT \over T}dy/dx\ dy/dx.}$

Или, если проинтегрировать последнее выражение, полное изменение энтропии в этом процессе[12]:

${\textstyle \int \limits _{S_{1}}^{S_{2}}dS=\nu \int \limits _{T_{1}}^{T_{2}}{c_{v}^{\mu }\ dT \over T}\Rightarrow \Delta S=\nu \int \limits _{T_{1}}^{T_{2}}{c_{v}^{\mu }\ dT \over T}.}$

В данном случае выносить выражение молярной теплоемкости при постоянном объёме за знак интеграла нельзя, поскольку она является функцией, которая зависит от температуры.

${\displaystyle p-V}$ диаграмма цикла Отто

При идеальном цикле Отто, который приближённо воспроизведён в бензиновом двигателе внутреннего сгорания, такты 2—3 и 4—1 являются изохорными процессами.

Работа, совершаемая на выходе двигателя, равна разности работ, которую произведёт газ над поршнем во время третьего такта (то есть рабочего хода), и работы, которую затрачивает поршень на сжатие газа во время второго такта. Так как в двигателе, работающем по циклу Отто используется система принудительного зажигания смеси, то происходит сжатие газа в 7—12 раз[13].

Анимация классического двигателя Стирлинга с конфигурацией бета-типа, при которой рабочий и вытеснительный поршни скомпонованы в одном цилиндре

В цикле Стирлинга также присутствуют два изохорных такта. Для его осуществления в двигателе Стирлинга добавлен регенератор. Газ, проходя через наполнитель в одну сторону, отдаёт тепло от рабочего тела к регенератору, а при движении в другую сторону отдаёт его обратно рабочему тему[14]. Идеальный цикл Стирлинга достигает обратимости и тех же величин КПД что и цикл Карно[15].

• Молекулярно-кинетическая теория
• Изотермический процесс
• Изобарный процесс

1. Кириллин В. А., Сычёв В. В., Шейндлин А. Е. Техническая термодинамика: учебник для вузов. — М.: Издательство МЭИ, 2008. — 496 с. Архивная копия от 24 ноября 2011 на Wayback Machine
2. Крестовников А. Н., Вигдорович В. Н. Химическая термодинамика. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Металлургия, 1973. — 256 с.
3. Кудрявцев П. С. История физики. — М.: Гос. учебно-педагог. изд-во, 1956. — Т. 1. От античной физики до Менделеева. — 564 с. — 25 000 экз.
4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1. — Издание 5-е. — М.: Физматлит, 2005. — 616 с. — («Теоретическая физика», том V). — ISBN 5-9221-0054-8.
5. Савельев И. В. Курс общей физики:Молекулярная физика и термодинамика. — М.: Астрель, 2001. — Т. 3. — 208 с. — 7000 экз. — ISBN 5-17-004585-9.
6. Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1975. — Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. — 519 с.
7. J. Dalton. 2 // Memoirs of the Literary and Philosophical Society of Manchester. — 1802. — Т. 5. — 701 с.
8. Alejandro Romanelli. Alternative thermodynamic cycle for the Stirling machine. — Montevideo, Uruguay: Instituto de F´ısica, Facultad de Ingenier´ıa Universidad de la Rep´ublica, 2017.