Теория Серфа

Марстон Морс доказал, что если ${\displaystyle M}$ компактно, любая гладкая функция

${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$

может быть аппроксимирована функцией Морса. Таким образом, для многих целей можно заменить произвольные функции на ${\displaystyle M}$ функциями Морса.

Следующий шаг, можно спросить: «Если у вас есть 1-параметрическое семейство функций, которое начинается и кончается функциями Морса, можем ли мы быть уверенными, что всё семейство состоит из функций Морса?» В общем случае ответом будет нет. Рассмотрим, например, семейство

${\displaystyle f_{t}(x)=(1/3)x^{3}-tx}$

как 1-параметрическое семейство функций на ${\displaystyle M=\mathbb {R} }$. В момент

${\displaystyle t=-1}$

функция не имеет критических точек, а в момент

${\displaystyle t=1}$

функция является функцией Морса с двумя критическими точками

${\displaystyle x=\pm 1}$.

Серф показал, что 1-параметрическое семейство функций между двумя функциями Морса может быть аппроксимировано семейством функций Морса во всех точках времени, кроме конечного числа. Вырождение проявляется в появлении/исчезновении критических точек, как в примере выше.

Вернёмся в общему случаю, когда ${\displaystyle M}$ является компактным многообразием. Пусть ${\displaystyle \operatorname {Morse} (M)}$ обозначает пространство функций Морса

${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} \,}$

а ${\displaystyle \operatorname {Func} (M)}$ обозначает пространство гладких функций

${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$.

Морс доказал, что

${\displaystyle \operatorname {Morse} (M)\subset \operatorname {Func} (M)}$

является открытым и плотным в топологии ${\displaystyle C^{\infty }}$.

Имеется интуитивная аналогия. Рассмотрим функции Морса как открытый слой максимальной размерности в расслоении ${\displaystyle \operatorname {Func} (M)}$ (мы не утверждаем, что такое расслоение существует, но предполагаем, что оно есть). Заметим, что в расслоённых пространствах открытый слой коразмерности 0 является открытым и плотным. С целью упрощения обозначений делаем соглашения об индексировании расслоений в расслоённом пространстве обратными и индексируем открытый слой не по его размерности, а по его коразмерности. Это удобнее, поскольку ${\displaystyle \operatorname {Func} (M)}$ бесконечномерно, если ${\displaystyle M}$ не является конечным множеством. По предположению открытый слой с коразмерностью 0 пространства ${\displaystyle \operatorname {Func} (M)}$ является ${\displaystyle \operatorname {Morse} (M)}$, то есть ${\displaystyle \operatorname {Func} (M)^{0}=\operatorname {Morse} (M)}$. В расслоённом пространстве ${\displaystyle X}$ часто ${\displaystyle X^{0}}$ несвязно. Существенной характеристикой слоя с коразмерностью 1 ${\displaystyle X^{1}}$ является то, что любой путь в ${\displaystyle X}$, который начинается и кончается в ${\displaystyle X^{0}}$, может быть аппроксимирован путём, который пересекает ${\displaystyle X^{1}}$ перпендикулярно в конечном числе точек и не пересекает ${\displaystyle X^{i}}$ для любого ${\displaystyle i>1}$.

Тогда теория Серфа — это теория, изучающая слои ${\displaystyle \operatorname {Func} (M)}$ с положительной коразмерностью, то есть ${\displaystyle \operatorname {Func} (M)^{i}}$ для ${\displaystyle i>0}$. В случае

${\displaystyle f_{t}(x)=x^{3}-tx}$,

только для ${\displaystyle t=0}$ функция не является функцией Морса и

${\displaystyle f_{0}(x)=x^{3}}$

имеет кубическую вырожденную критическую точку, соответствующую появлению/исчезновению особенности.

Теорема Морса утверждает, что если ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ является функцией Морса, то рядом с критической точкой ${\displaystyle p}$ она сопряжена с функцией ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ вида

${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=f(p)+\epsilon _{1}x_{1}^{2}+\epsilon _{2}x_{2}^{2}+\dotsb +\epsilon _{n}x_{n}^{2}}$,

где ${\displaystyle \epsilon _{i}\in \{\pm 1\}}$.

Теорема Серфа для 1-параметрического семейства устанавливает существенное свойство слоя коразмерности один.

А именно, если ${\displaystyle f_{t}\colon M\to \mathbb {R} }$ является 1-параметрическим семейством гладких функций на ${\displaystyle M}$ с ${\displaystyle t\in [0,1]}$ и ${\displaystyle f_{0},f_{1}}$ являются функциями Морса, то существует гладкое 1-параметрическое семейство ${\displaystyle F_{t}\colon M\to \mathbb {R} }$, такое, что ${\displaystyle F_{0}=f_{0},F_{1}=f_{1}}$, ${\displaystyle F}$ равномерно близка к ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle C^{k}}$-топологии на функциях ${\displaystyle M\times [0,1]\to \mathbb {R} }$. Более того, ${\displaystyle F_{t}}$ являются функциями Морса во всех точках, кроме конечного числа. В точках, в которых функция не является функцией Морса, функция имеет только одну вырожденную критическую точку ${\displaystyle p}$ и рядом с этой точкой семейство ${\displaystyle F_{t}}$ сопряжено с семейством

${\displaystyle g_{t}(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=f(p)+x_{1}^{3}+\epsilon _{1}tx_{1}+\epsilon _{2}x_{2}^{2}+\dotsb +\epsilon _{n}x_{n}^{2}}$

где ${\displaystyle \epsilon _{i}\in \{\pm 1\},t\in [-1,1]}$. Если ${\displaystyle \epsilon _{1}=-1}$, это будет 1-параметрическое семейство функций, в котором создаются две критические точки (при возрастании ${\displaystyle t}$), а для ${\displaystyle \epsilon _{1}=1}$ это будет 1-параметрическое семейство, в котором две критические точки исчезают.

Кусочно-линейную-задачу Шёнфлиса для ${\displaystyle S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ решил Дж. У. Александер в 1924. Его доказательство приспособили для гладкого случая Морс и Байада[1]. Существенное свойство использовал Серф для доказательства, что любой сохраняющий ориентацию диффеоморфизм ${\displaystyle S^{3}}$ изотопен тождественному[2], что рассматривается как 1-параметрическое расширение теоремы Шёнфлиса для ${\displaystyle S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}}$. Следствие ${\displaystyle \Gamma _{4}=0}$ в то время имело широкое применение в дифференциальной топологии. Существенное свойство позднее Серф использовал для доказательства теоремы о псевдоизотопии[3] для многомерных односвязных многообразий. Доказательство является 1-параметрическим расширением доказательства Смейла теоремы о h-кобордизме (Морс, а также Милнор[4] и Серф-Грамейн-Морин[5] переписали по предложению Тома доказательство Смейла в терминах функциональной концепции).

Доказательство Серфа построено на работе Тома и Мазера[6]. Полезным современным обзором работы Тома и Мазера является книга Глубитского и Гильмена[7].

Помимо вышеупомянутых применений, Робион Кёрби использовал теорию Серфа в качестве ключевого шага в обосновании исчисления Кёрби.

Расслоение дополнения подпространства бесконечной коразмерности пространства гладких отображений ${\displaystyle \{f\colon M\to \mathbb {R} \}}$ со временем разработал Сержераер[8].

В семидесятые годы задачу классификации для псевдоизотопий многообразий, не являющихся односвязными, решили Хэтчер и Вагонер[9], открыв алгебраические ${\displaystyle K_{i}}$-разрушения на ${\displaystyle \pi _{1}M}$ (${\displaystyle i=2}$) и ${\displaystyle \pi _{2}M}$ (${\displaystyle i=1}$), и Киёси Игуса, который открыл разрушения аналогичной природы на ${\displaystyle \pi _{1}M}$ (${\displaystyle i=3}$)[10].