Теорема сумм-произведений

Теорема сумм-произведений — теорема арифметической комбинаторики, устанавливающая неструктурированность любого достаточно большого множества относительно хотя бы одной из операций поля (сложения и умножения). В качестве показателя структурированности используются, соответственно, размеры множества сумм и множества произведений.

Формулировка

Пусть  — подмножество некоторого кольца (обычно является полем, но формально можно рассматривать и кольцо) с операциями и . Рассматриваются два производных от множества:

Если множество структурировано относительно сложения (например, в нём много арифметических прогрессий, или обобщённых арифметических прогрессий, или их больших кусков), то множество будет относительно невелико — ведь суммы многих пар элементов совпадут.

Если же структурировано относительно умножения, то не очень большим будет множество , по аналогичным причинам.

Теорема утверждает, что хотя бы одно из множеств и очень велико относительно , то есть относительно хотя бы одной из операций структура будет нерегулярна.

Конкретнее, теорема устанавливает степенной рост размера большего из производных множеств относительно размера исходного:

Теорема

Для некоторой константы и произвольного множества (для конечного  — с ограничениями на размер) верно, что

Для разных колец удаётся получить оценки с разными . Также для некоторых (особенно для конечных) колец возможно добавление условий на размер множества , при которых выполняется теорема для данного .

Крайние случаи

Наиболее удобными для изучения оказываются крайние случаи гипотезы:

  • few sums, many product (FSMP): если , то [1]
  • few products, many sums (FPMS): если , то [2]

Примеры

Классическими примерами для иллюстрации теоремы сумм-произведений являются арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия .

Арифметическая прогрессия максимально упорядочена относительно сложения, так что , однако из её чисел можно составить много разных произведений, так что [3], так что относительно умножения она совершенно неупорядоченна.

Точно так же для геометрической прогрессии выполнено , но очевидно (если рассмотреть двоичное представление чисел), что .

Результаты

Для вещественных чисел

При теорема сумм-произведений иногда называется также теоремой Эрдёша-Семереди, поскольку именно они в 1983 году подняли вопрос рассмотрения соотношения количеств сумм и произведений. В той же работе они выдвинули гипотезу о том, что величина может быть сколь угодно близка к единице (то есть ). Однако В той же статье они выдвинули ещё несколько гипотез, в частности, аналогичную для слагаемых и множеств: .

Хронология улучшения в оценке
ГодЗначение Автор(ы)
1983 (*)(**) Эрдёш, Семереди[4]

вместо

1998 (*)(**) Форд[5]
1997 (**) Элекеш[6]
2005 Шоймоши[7]
2009 Шоймоши[8]
2015 Конягин, Шкредов[9]
2016 Конягин, Шкредов[10]
2016 Руднев, Шкредов, Стивенс[11]
2019 Шакан[12]
2020
(препринт)
Руднев, Стивенс[13]
(*) Только для
(**) Верно и для степени вместо

Для полей вычетов по простому модулю

Теренс Тао в своей монографии отмечает, что задача о получении аналога результата Эрдёша и Семереди в полях была поставлена в 1999 г. Т. Вольфом (в частной беседе) для подмножеств мощности порядка .

Задача сумм-произведений в была решена в работах Бургейн, Глиббичука и Конягина и Бургейна, Каца и Тао. Они доказали следующую теорему

Для любого существует такое, что если и , то выполняется оценка

В условии теоремы требование является естественным, так как если имеет порядок близкий к , то обе величины и будут по порядку близки к .[14]

Для произвольных колец

Теренс Тао исследовал границы возможностей обобщения теоремы на произвольные кольца и, в частности, связь экстремальных случаев малых значений и с количеством делителей нуля в множестве и близостью его структуры к подкольцу.[15]

Методы доказательства

Первые доказательства

Доказательство Эрдёша и Семереди использовало тот факт, что при малых и существует решение системы

где принадлежат некоторым (разным) подмножествам , а на само множество налагаются специальные условия. Используя такое утверждение как лемму, можно доказать теорему и для произвольного множества .[16]

Теорема Семереди — Троттера (Элекеш, 1997)

Если все элементы имеют много представлений в виде для некоторых небольших множеств , то для оценки числа решений уравнения

с любыми множествами можно использовать уравнение

С другой стороны, решения такого уравнения соответствуют инциденциям между прямыми, которые параметризуются парами , и точками, которые параметризуются парами . Поэтому для их оценки оказывается удобно использовать общие результаты об инциденциях, наилучший из которых — теорема Семереди — Троттера.[17][18]

Именно это использовал Элекеш при доказательстве теоремы с показателем .[6] Неявно его доказательство можно разделить на два этапа:

  • анализ уравнения (тривиально, с помощью разложения )
  • применение полученных оценок (тривиально, для )

Такая декомпозиция важна для осмысления возникших позже методов.

Конструкция Шоймоши (Шоймоши, 2009)

Конструкция Шоймоши. Красные точки имеют координаты из .
Зелёные точки соответствуют суммам красных с соседних прямых. Все они гарантированно различны и принадлежат .
Количество линий с красными точками выражается через

Шоймоши использовал тот факт, что если , то

Из этого следует, что если , то

В то же время при фиксированных значениях все пары , образуемые представлениями

будут различны, поэтому, просуммировав их по «соседним» парам , можно получить оценку на в терминах числа таких представлений. А оно, в свою очередь, выражается (опосредовано) через .[19]

Наиболее наглядно эту идею можно выразить геометрически, как суммирование точек из , которые лежат на соседних прямых, исходящих из центра координат.

Разбиение конструкции Шоймоши (Конягин, Шкредов, 2015)
Разбиение конструкции Шоймоши по методу Конягина-Шкредова
Цвета линий, исходящих из центра координат, соответствуют блокам, в каждом из которых оценивается количество совпадений сумм.
Синие и фиолетовые линии обозначают суммируемые пары красных точек с одинаковыми суммами.

Если в конструкции Шоймоши убрать условие о том, что суммируемые точки должны принадлежать соседним прямым, то уже ничто не будет гарантировать, что все получающиеся суммы будут различны. Например, вообще все суммы точек из могут быть различны только в экстремальном случае , а он уже удовлетворяет гипотезе сумм-произведений.

Исходя из этого, Конягин и Шкредов оценили минимальное число совпадений таких сумм в промежуточном случае (когда и равны нижней оценке, то есть ). Чтобы оценить число совпадений, они разбили все прямые на блоки из одинакового числа идущих подряд и оценивали число совпадений в каждом блоке для большинства из них. Используя эти оценки, они получили результат с .[20]

Нетривиальное мультипликативное разложение (Руднев, Стивенс, 2020)

Совпадения двух сумм точек, которые рассматривали Конягин и Шкредов, означают наличие решения системы уравнений

где и все и пары различны. Редуцируя систему по методу Гаусса (в одно действие), можно получить уравнение

с постоянными и теми же условиями на . Руднев и Стивенс применили это для явного построения мультипликативного разложения большого подмножества с лучшими свойствами, чем у тривиального.[21]

По аналогии с доказательством Элекеша, это позволяет разделить доказательство оценок с показателем на два этапа:

  • применение нового мультипликативного разложения;

Использование старших энергий

Наиболее популярный путь использования уравнений для оценки  — использование аддитивной энергии и её обобщений. Результаты применения теоремы Семереди-Троттера позволяют лучше всего анализировать уравнения вида

для произвольного . Руднев и Стивенс предложили метод использования такой аддитивной энергии с помощью рассмотрения уравнения

где соответствует множеству популярных (с большим количеством представлений) разностей, а принадлежит множеству популярных сумм. Кроме задачи сумм-произведений, разработка подобных методов актуальна для оценки сумм выпуклых последовательностей.[23]

Существует похожий операторный метод, который менее эффективен для оценки , но позволяет лучше изучать связь между и .[24]

Для простых полей

При доказательстве теоремы для широко используются понятие аддитивной энергии, неравенство Плюннеке — Ружа и оценки Балога-Семереди-Гауэрса. Одно из возможных доказательств использует нижнюю оценку на размер множества и тот факт, что из верхних оценок на размеры и следует противоречащая нижней верхняя оценка на размер .[25][26]

Приложения

Бургейн, Глибичук и Конягин[27] использовали частны случай теоремы при для оценки полилинейных тригонометрических сумм. Это, в частности, позволило получить нетривиальные верхние оценки для сумм Гаусса по малым мультипликативным подгруппам .[28] Бургейн, Кац и Тао, используя этот же случай, усилили оценку в проблеме Семереди-Троттера в , доказав, что для множества пар для множества точек из и прямых при выполняеся оценка при некотором . [29]

В этой же работе они применили теорему для исследования множеств Какейи в многомерном пространстве . Для размера такого множества ими была получена оценка .[26][29]

Границы возможного улучшения гипотезы

В той же статье, где Эрдёш и Семереди выдвинули гипотезу о том, что для , они предъявили и пример построения сколь угодно большого множества , для которого . В качестве такого множества выступало множество чисел, получаемых произведением не более чем простых чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превышает , где  — произвольное достаточно большое число.[16]

Обобщения

Для комбинации операций

Бургейн и Чанг рассматривали оценки вида

для произвольного и .[30]

Во многих работах сложение и умножение соединяют в одном выражении: например, получают безусловные нижние оценки для .[31]

Для набора пар слагаемых/множителей

Одно из обобщений гипотезы — вопрос о суммах и произведениях, соответствующие рёбрам произвольного графа на элементах множества.

Пусть  — граф, , . Обозначим и через равенства

  • , где ,

Как зависят друг от друга значения и при ?

В отличие от случая , здесь может не наблюдаться экстремального роста ни сумм, ни произведений: при возможна ситуация, когда [32]. Поэтому кроме нижних оказывается актуален вопрос верхних оценок на . Впрочем, нижние оценки тоже исследуются.[33][34]

Для оценки энергий

Нижние оценки на размер множества сумм легко выводить из верхних оценок на аддитивную энергию, поэтому гипотезу о первых естественно обобщить до гипотезы о вторых, используя аналогичное понятие мультипликативной энергии.

Но у множества чисел вполне могут быть большими одновременно обе энергии, поскольку нижняя оценка может контролироваться вкладом отдельного подмножества. Например, если , то для множества верно, что

Поэтому при формулировке соответствующей теоремы об энергиях используется соотношение энергий разных подмножеств.

Теорема Балога-Вули

Существует константа такая, что для любого множества существует разбиение с условием

Наилучший вариант этой теоремы доказан для .[12] Известно, что аналогичное не верно для .[35]

Для произвольных выпуклых функций

Умножение двух чисел можно представить как функцию от сложения их логарифмов: . Поэлементное применение строго возрастающей функции ко множеству не меняет его размера, поэтому

и основную гипотезу сумм-произведений можно переформулировать как

или (подставляя ) как

Оказывается, что похожие оценки можно доказать для произвольной выпуклой функции вместо .

Теорема[36]

Если  — произвольное множество,  — произвольная строго выпуклая функция, то

Вопрос о том, верны ли такие же оценки с показателем в правой части, остаётся открытым.

Аналогичные результаты получены и для большего числа слагаемых.[37]

Литература

  • S. V. Konyagin, I. D. Shkredov. New results on sum-products in  (англ.). — 2016. arXiv:1602.03473.
  • M. Rudnev, S. Stevens. An update on the sum-product problem (англ.). — 2020. arXiv:2005.11145.
  • G. Elekes, I. Z. Ruzsa. Few sums, many products (англ.) // Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica. — 2003. Vol. 40, iss. 3. P. 301–308.
  • I. Shkredov, J. Solymosi. The Uniformity Conjecture in Additive Combinatorics (англ.). — 2020. arXiv:2005.11559.
  • B. Hanson, O. Roche-Newton, M. Rudnev. Higher convexity and iterated sum sets (англ.). — 2020. arXiv:2005.00125.

Примечания

  1. Решена в Elekes, Ruzsa, 2003
  2. В Murphy, Rudnev, Shkredov, Shteinikov, 2019 получены лучшие результаты, чем в общем случае
  3. http://oeis.org/A027424
  4. В первой работе Erdös, Szemerédi, 1983 не уточнялось значение , а лишь доказвалось существование. Тем не менее, прямое следование рассуждениям той работы показывает, что она верна для . В явном виде это значение упомянуто позже в Nathanson, 1997
  5. Ford, 1998.
  6. Elekes, 1997.
  7. Solymosi, 2005.
  8. Solymosi, 2009.
  9. Konyagin, Shkredov, 2015.
  10. Konyagin, Shkredov, 2016.
  11. Rudnev, Shkredov, Stevens, 2020.
  12. Shakan, 2019.
  13. Rudnev, Stevens, 2020.
  14. Гараев, 2010, с. 1—2.
  15. Tao, Terence (2009), The sum-product phenomenon in arbitrary rings, Contributions to Discrete Mathematics Т. 4 (2): 59–82, hdl:10515/sy5r78637.
  16. Erdös, Szemerédi, 1983.
  17. См. Rudnev, Stevens, 2020, лемма 3
  18. Похожим образом разложение можно использовать для анализа . См. Rudnev, Stevens, 2020, лемма 4.
  19. См. Solymosi, 2009, формула (2).
  20. См. Konyagin, Shkredov, 2015, доказательство леммы 10
  21. См. Rudnev, Stevens, 2020, с. 10 (после предложения 1)
  22. Если применять эти оценки тривиально, так же, как и у Элекеша, то результатом будет
  23. См. Rudnev, Stevens, 2020, теорема 5, в особенности формулу (25)
  24. См. Olmezov, Semchankau, Shkredov, 2020, теорема 2
  25. Гараев, 2010, с. 14—25.
  26. Mini course of additive combinatorics, заметки по лекциям Принстонского университета
  27. J. Bourgain, A. A. Glibichuk, S. V. Konyagin, «Estimates for the number of sums and products and for exponential sums in fields of prime order», J. London Math. Soc. (2), 73:2 (2006), 380—398.
  28. Гараев, 2010, с. 7—9.
  29. K. N. Bourgain, J. and T. Tao. A Sum-Product Estimate in Finite Fields, and Applications. GAFA, 14(1):27-57, 2004. arXiv: math/0301343
  30. Bourgain, Chang, 2004.
  31. Rudnev, Stevens, 2020, теорема 2
  32. Alon, Ruzsa, Solymosi, 2020, теорема 3
  33. Alon, Angel, Benjamini, Lubetzky, 2012, следствие 4
  34. Shkredov, Solymosi, 2020, теорема 3
  35. Balog, Wooley, 2017, теорема 1.2
  36. Li, Roche-Newton, 2012, теоремы 1.1, 1.2
  37. Hanson, Roche-Newton, Rudnev, 2020, теорема 1.4
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.