Неравенство Плюннеке — Ружа
Неравенства Плюннеке — Ружа — классическая лемма аддитивной комбинаторики. Описывает ограничения на многократные суммы множеств при известных ограничениях на аналогичные короткие суммы. Например, ограничения на при известных ограничениях на .
Доказательства неравенств Плюннеке — Ружа, как правило, не используют структуру общего множества, которому принадлежат и , а используют только общие аксиомы групповой операции, что делает их верными для произвольных групп (в частности, для множеств натуральных и вещественных чисел, а также остатков от деления на заданное число)
Названы в честь немецкого математика H. Plünnecke[1] и венгерского математика Имре Ружа.[2]
Формулировки
Ниже используются обозначения
Для одного множества
Пусть - абелева группа, . Тогда из следует |
Лемма
Если , то .
Лемма доказывается индукцией по размеру . Для утверждение очевидно. Далее, для некоторого обозначим . По предположению индукции, .
Рассмотрим множество . Если , то . Иначе
Причём, по определению ,
Вывод теоремы из леммы
Выберем подмножество , то есть удовлетворяющее требованиям леммы. Тогда, согласно лемме при ,
Далее воспользуемся неравенством треугольника Ружа.
Для двух множеств
Для всяких существует такое, что если - группа, , то из следует |
Лемма 1
Если , то .
Это утверждение напрямую следует из неравенства треугольника Ружа
Лемма 2
Если , то из следует, что существует такое, что и .
Для доказательства рассмотрим множество элементов, имеющих не менее, чем представлений в виде . Общее количество пар можно оценить сверху как , так что .
При этом если опредеелить функцию как , то для всякого образа вида найдётся не менее различныых прообразов вида , соответствующих различным представлениям . Важно рассматривать именно такую расстановку слагаемых в прообразе, потому что все пары , очевидно, одинаковы по определению.
Так как каждый элемент из имеет не менее различных прообразов, то
Вывод неравенства из лемм
Для данных рассмотрим множество , получаемое в лемме 2, и обозначим для леммы 1 . Тогда, по лемме 1,
.
Последнее неравенство верно, поскольку при .
Итак, и, повторяя ту же процедуру для вместо , можно получить , и вообще
.
Значит,
Обобщение на произвольное количество множеств
Пусть - абелева группа, , . Тогда Тогда существует непустое подмножество такое, что [2][6][7] |
Основные следствия
Если , то
Если , то
Следовательно, если для величин и известен порядок роста при росте , то
Приложения
Неравенство Плюннеке-Ружа используется для доказательства теоремы сумм-произведений
Ссылки
Примечания
- H. Pl¨unnecke. Eine zahlentheoretische anwendung der graphtheorie. J. Reine Angew. Math., 243:171–183, 1970
- I. Z. Ruzsa, “An application of graph theory to additive number theory”, Sci. Ser. A Math. Sci. (N. S.), 3 (1989), 97–109.
- Текстовое изложение лекции Харальда Хельфготта в СПбГУ (недоступная ссылка)
- Лекция Харальда Хельфготта в СПбГУ
- Boaz Barak, Luca Trevisan, Avi Wigderson, "Mini course of additive combinatorics" (недоступная ссылка). Дата обращения: 8 октября 2017. Архивировано 6 февраля 2015 года.
- I. Z. Ruzsa, “Sums of finite sets”, Number theory (New York, 1991–1995), Springer, New York, 1996, 281–293.
- М. З. Гараев, Суммы и произведения множеств и оценки рациональных тригонометрических сумм в полях простого порядка, УМН, 2010, том 65, выпуск 4(394), DOI: http://dx.doi.org/10.4213/rm9367