Теорема Семереди — Троттера

Мы можем отбросить прямые, содержащие две и менее точек, так как они могут дать максимум 2m инциденций. Таким образом, мы можем считать, что любая прямая содержит по меньшей мере три точки.

Если прямая содержит k точек, то она содержит k − 1 отрезков, соединяющих две из n точек. В частности, прямая будет содержать по меньшей мере k/2 таких отрезков, поскольку мы предположили k ≥ 3. Складывая все такие инциденции по всем m прямым, мы получим, что число отрезков, полученных таким образом, по меньшей мере равно половине числа всех инциденций. Если мы обозначим через e число таких отрезков, достаточно показать, что

${\displaystyle e=O\left(n^{\frac {2}{3}}m^{\frac {2}{3}}+n+m\right).}$

Рассмотрим теперь граф, образованный n точками в качестве вершин и e отрезками в качестве рёбер. Поскольку каждый отрезок лежит на какой-либо из m прямых и две прямые пересекаются максимум в одной точке, число пересечений этого графа не превосходит m². Из неравенства числа пересечений мы заключаем, что либо e ≤ 7.5n, либо m² ≥ e³ / 33.75n². В любом случае e ≤ 3.24(nm)^2/3 + 7.5n и мы получаем требуемую границу

${\displaystyle e=O\left(n^{\frac {2}{3}}m^{\frac {2}{3}}+n+m\right).}$

Поскольку любая пара точек может быть соединена максимум одной прямой, может быть максимум n(n − 1)/2 l прямых, которые могут соединять k или более точек, поскольку k ≥ 2. Эта граница доказывает теорему при малых k (например, если k ≤ C для некоторой абсолютной константы C). Таким образом, имеет смысл рассматривать только случаи, когда k велико, скажем, k ≥ C.

Предположим, что имеется m прямых, каждая из которых содержит по меньшей мере k точек. Эти прямые образуют по меньшей мере mk инциденций, а тогда по первому варианту теоремы Семереди – Троттера мы имеем

${\displaystyle mk=O\left(n^{\frac {2}{3}}m^{\frac {2}{3}}+n+m\right),}$

и по меньшей мере выполняется одно равенство из ${\displaystyle mk=O(n^{2/3}m^{2/3}),mk=O(n)}$ или ${\displaystyle mk=O(m)}$. Третью возможность отбрасываем, поскольку мы предположили, что k велико, так что остаются два первых. Но в обоих случаях после несложных алгебраических выкладок получим ${\displaystyle m=O(n^{2}/k^{3}+n/k)}$, что и требовалось.

Если не учитывать постоянные множители, граница инциденций Семереди – Троттера не может быть улучшена. Чтобы это увидеть, рассмотрим для любого положительного целого числа N ∈ Z⁺ множество точек целочисленной решётки

${\displaystyle P=\left\{(a,b)\in \mathbf {Z} ^{2}\$ :\ 1\leq a\leq N;1\leq b\leq 2N^{2}\right\},}

и набор прямых

${\displaystyle L=\left\{(x,mx+b)\$ :\ m,b\in \mathbf {Z} ;1\leq m\leq N;1\leq b\leq N^{2}\right\}.}

Ясно, что ${\displaystyle |P|=2N^{3}}$ и ${\displaystyle |L|=N^{3}}$. Поскольку каждая прямая инцидентна N точкам (т.е. один раз для каждого ${\displaystyle x\in \{1,\cdots ,N\}}$), число инциденций равно ${\displaystyle N^{4}}$, что соответствует верхней границе[3].

Обобщение этого результата для произвольной размерностиR^d было найдено Агавалом и Ароновым[4]. Если дано множество S, содержащее n точек, и множество H, содержащее m гиперплоскостей, число инциденций точек из S и гиперплоскостей из H ограничено сверху числом

${\displaystyle O\left(m^{\frac {2}{3}}n^{\frac {d}{3}}+n^{d-1}\right).}$

Эквивалентно, число гиперплоскостей из H, содержащих k и более точек, ограничено сверху числом

${\displaystyle O\left({\frac {n^{d}}{k^{3}}}+{\frac {n^{d-1}}{k}}\right).}$

Построение Эдельбруннера показывает, что граница асимптотически оптимальна[5].

Шоймоши и Тао получили почти точную верхнюю границу для числа инциденций между точками и алгебраическими многообразиями в пространствах высокой размерности. Их доказательство использует полиномиальную теорему о сэндвиче[6].

Теорема Семереди-Троттера находит множество приложений в аддитивной[7][8][9] и арифметической комбинаторике (например, для доказательства теоремы сумм-произведений[10]).

• Endre Szemerédi, William T. Trotter. Extremal problems in discrete geometry // Combinatorica. — 1983. — Т. 3, вып. 3–4. — С. 381–392. — doi:10.1007/BF02579194.
• László A. Székely. Crossing numbers and hard Erdős problems in discrete geometry // Combinatorics, Probability and Computing. — 1997. — Т. 6, вып. 3. — С. 353–358. — doi:10.1017/S0963548397002976.
• Terence Tao. An incidence theorem in higher dimensions. — 2011.
• Pankaj Agarwal, Boris Aronov. Counting facets and incidences // Discrete and Computational Geometry. — Springer, 1992. — Т. 7, вып. 1. — С. 359–369. — doi:10.1007/BF02187848.
• Herbert Edelsbrunner. 6.5 Lower bounds for many cells // Algorithms in Combinatorial Geometry. — Springer-Verlag, 1987. — ISBN 3-540-13722-X.
• J. Solymosi, Terence Tao. An incidence theorem in higher dimensions // Discrete and Computational Geometry. — 2012. — Т. 48, вып. 2. — doi:10.1007/s00454-012-9420-x.

• Фёдор Нилов, Александр Полянский, Никита Полянский,. 26-я летняя конференция международного математического Турнира городов (02.08.2014-11.08.2014). — Калининград-Ушаково, 2014.