Аддитивная энергия
Аддитивная энергия — численная характеристика подмножества группы, иллюстрирующая структурированность множества относительно групповой операции. Термин введён Теренсом Тао и Ван Ву[1].
Определение
Пусть — группа.
Аддитивная энергия множеств и обозначается как и равна[2] количеству решений следующего уравнения:
Аналогично можно определить мультипликативную энергию (например. в кольце) как количество решений уравнения:
Экстремальные значения
Своего наименьшего значения достигает, когда все суммы различны — например, когда и — множество различных образующих группы из какого-то минимального порождающего множества. Тогда
Наибольшее значение достигается, когда и является подгруппой . В этом случае для любого число решений уравнения равно , так что
Соответственно, промежуточные величины порядка роста между и можно рассматривать как больший или меньший показатель близости структуры к структуре подгруппы. Для некоторых групп определённые ограничения на аддитивную энергию позволяет доказывать структурные теоремы о существовании достаточно больших подгрупп внутри (или какого-то производного от него множества) и о вложимости (или какого-то производного от него множества) в достаточно маленькие подгруппы .[3] Ограничения на для этих теорем связаны с показателем кручения группы и отдельных её образующих. Однако для циклических групп и групп без кручения существуют аналогичные теоремы, рассматривающие вместо подгрупп обобщённые арифметические прогрессии.
Основные свойства
- , где [2]
Для кольца вычетов по простому модулю аддитивную энергию можно выразить через тригонометрические суммы. Обозначим . Тогда
Будем использовать нотацию Айверсона и индикаторное тождество.
Заметим, что выражение через тригонометрические суммы справедливо только для аддитивной энергии, но не для мультипликативной, поскольку использует явно свойства сложения в .
Приложения
Аддитивная и мультипликативная энергии используются в аддитивной и арифметической комбинаторике для анализа комбинаторных сумм и произведений множеств , в частности, для доказательства теоремы сумм-произведений.
Старшие энергии
Существуют два основных обобщения уравнения, определяющего аддитивную энергию - по количеству слагаемых и по количеству равенств:
Они называются старшими энергиями[4] и иногда возможно получить оценки на них, не получая оценок на обычную аддитивную энергию.[5][6] В то же время неравенство Гёльдера позволяет (со значительным ухудшением) оценивать обычную энергию через старшие.
Для параметра в иногда рассматриваются и вещественные, а не только целые числа (просто через подстановку в последнее выражение).[7]
См. также
- Теорема сумм-произведений
- Структурная теорема Чанг
Литература
- Ю. Н. Штейников. Оценки тригонометрических сумм по подгруппам и некоторые их приложения // Математические заметки. — 2015. — Т. 98, вып. 4. — С. 606-625.
- И. Д. Шкредов. Несколько новых результатов о старших энергиях (англ.) // Труды Московского математического общества. — 2013. — Vol. 74, iss. 1. — P. 35-73.
Примечания
- co.combinatorics - Where did the term "additive energy" originate? - MathOverflow
- М. З. Гараев, Суммы и произведения множеств и оценки рациональных тригонометрических сумм в полях простого порядка, УМН, 2010, том 65, выпуск 4 (394), стр. 25 (по нумерации на страницах)
- Лекции лаборатории Чебышёва, курс «Аддитивная комбинаторика» (Фёдор Петров), лекция 6, с момента 1:11:30
- Шкредов, 2013.
- Штейников, 2015, с. 607, теорема 4.
- arXiv:1808.08465v4 Misha Rudnev, George Shakan, Ilya Shkredov, "Stronger sum-product inequalities for small sets", с. 5, следствие 7
- Шкредов, 2013, с. 59, теорема 6.3.