Асимптотическое равенство

Про многие функции часто говорят, что они примерно равны или ведут себя одинаково вблизи некоторой точки. Однако такая терминология слишком расплывчата, и если мы действительно хотим говорить про одинаковое поведение функций, этому нужно дать формальное определение.

Определим следующий термин: будем говорить, что функция ${\displaystyle g(x)}$ приближает или аппроксимирует функцию ${\displaystyle f(x)}$ вблизи точки ${\displaystyle x_{0}}$, если для сколь угодно малого числа можно взять такую окрестность, где эти функции будут отличаться не более чем на это число. На ${\displaystyle \varepsilon ,\delta }$-языке:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x\in (x_{0}-\delta ;x_{0})\cup (x_{0};x_{0}+\delta ):|f(x)-g(x)|<\varepsilon }$

Не трудно увидеть, что это определение означает равенство предела разности функций нулю при стремлении к точке ${\displaystyle x_{0}}$. ${\displaystyle |f(x)-g(x)|}$ есть не что иное как абсолютная погрешность приближения функции ${\displaystyle f(x)}$ функцией ${\displaystyle g(x)}$. При определении аппроксимирующей в точке функции мы требуем того, чтобы абсолютную погрешность можно было сделать сколь угодно малой. При этом относительная погрешность совсем не обязательно будет мала. Простой пример: функция ${\displaystyle -x}$ аппроксимирует функцию ${\displaystyle x}$ в точке ${\displaystyle 0}$, так как у них равный предел. Однако относительная погрешность этой аппроксимации во всех точках кроме ${\displaystyle 0}$ равна ${\displaystyle 200\%}$.

Можно вместо условия малости абсолютной погрешности потребовать малость относительной. Функции с таким условием и называются асимптотически эквивалентными[1]. Относительная погрешность (для неравной нулю ${\displaystyle f(x)}$ в некоторой проколотой окрестности точки ${\displaystyle x_{0}}$) функций ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ считается по формуле ${\displaystyle \left|{\frac {f(x)-g(x)}{f(x)}}\right|}$. Условие асимптотической эквивалентности формулируется тогда так:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x\in (x_{0}-\delta ;x_{0})\cup (x_{0};x_{0}+\delta ):\left|{\frac {f(x)-g(x)}{f(x)}}\right|<\varepsilon }$

Это, очевидно, эквивалентно условию ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {g(x)}{f(x)}}=1}$, которое чаще всего и принимается за определение асимптотической эквивалентности.

Классическое определение

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ определены в некоторой проколотой окрестности точки ${\displaystyle x_{0}}$ (${\displaystyle x_{0}}$ также может быть бесконечностью, как с определённым знаком, так и беззнаковой) и ${\displaystyle g(x)}$ не равна ${\displaystyle 0}$ в некоторой проколотой окрестности. Функции ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ называются асимптотически равными при ${\displaystyle x\to x_{0}}$, если:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1}$

Эквивалентность по базе

Конечно, асимптотическое равенство можно рассматривать не только для простого стремления аргумента к некоторому значению. Можно рассматривать предел и по другим базам: при стремлении аргумента справа, слева, по какому-то подмножеству и вообще по любой базе. Поэтому имеет смысл определить асимптотическую эквивалентность для любой базы ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$. Пусть ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ определены на некотором элементе базы ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ и ${\displaystyle g(x)}$ не равна ${\displaystyle 0}$ на некотором элементы базы. Функции ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ называются асимптотически равными по базе ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, если:[2]

${\displaystyle \lim _{\mathfrak {B}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1}$

Общий случай

Понятие асимптотического равенства может быть обобщено и на случай, если условие неравенства нулю ${\displaystyle g(x)}$ не выполняется ни в какой окрестности. Пусть ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ определены на некотором элементе базы ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$. Функции ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ называются асимптотически равными по базе ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, если функцию ${\displaystyle f(x)}$ можно представить в виде ${\displaystyle f(x)=\varepsilon (x)g(x)}$, где ${\displaystyle \lim _{\mathfrak {B}}\varepsilon (x)=1}$[3].

Через о-малое

Эквивалентное определение асимптотическому равенству может быть дано с использованием понятия о-малого. Пусть ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ определены на некотором элементе базы ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ и ${\displaystyle g(x)}$ не равна ${\displaystyle 0}$ на некотором элементы базы. Функции ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ называются асимптотически равными по базе ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, если функцию ${\displaystyle f(x)}$ можно представить в виде ${\displaystyle f(x)=g(x)+o(f(x))}$, где ${\displaystyle o(f(x))}$ есть о-малое от ${\displaystyle f(x)}$ по базе ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$.

Через бесконечно малое

Для общего случая приведённое выше определение через о-малое можно сформулировать используя понятие бесконечно малое. Пусть ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ определены на некотором элементе базы ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$. Функции ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ называются асимптотически равными по базе ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, если функцию ${\displaystyle f(x)}$ можно представить в виде ${\displaystyle f(x)=g(x)+o(1)f(x)}$, где ${\displaystyle o(1)}$ есть бесконечно малое по базе ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$[3].

Для обозначения асимптотического равенства используется тильда: ${\displaystyle f(x)\sim g(x)}$.

Асимптотическое равенство по некоторой базе в полном смысле является отношением эквивалентности на множестве определённых на некотором элементе базы функций, то есть оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Поэтому множество таких функций может быть разбито на классы эквивалентности.

Любые две функции, имеющие одинаковый конечный ненулевой предел, эквивалентны между собой. С другой стороны, эквивалентность функции некоторой функции с ненулевым конечным пределом, автоматически влечёт за собой равенство их предела. Таким образом, множество функций с одинаковым ненулевым конечным пределом образует класс эквивалентности.

Совсем не так обстоит дело с бесконечно малыми, бесконечно большими и не имеющими предела функциями. Именно такие эквивалентности и представляют интерес. Эквивалентность двух функций влечёт за собой равенство их пределов (либо их несуществование), поэтому можно рассматривать отдельно классы эквивалентности бесконечно больших и бесконечно малых функций[3].

Полином при ${\displaystyle x\to \infty }$ эквивалентен своему ненулевому слагаемому со старшей степенью, а при ${\displaystyle x\to 0}$ с младшей.

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}\sim a_{n}x^{n}}$ при ${\displaystyle x\to \infty ,a_{n}\neq 0}$

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{m+1}x^{m+1}+a_{m}x^{m}\sim a_{m}x^{m}}$ при ${\displaystyle x\to 0,a_{m}\neq 0}$

При вычислении пределов во многих учебниках часто приводят таблицы эквивалентностей для некоторых элементарных функций:

Эквивалентные бесконечно малые при ${\displaystyle x\to 0}$

Функция 1	Функция 2
${\displaystyle \sin x}$	${\displaystyle x}$
${\displaystyle \operatorname {tg} x}$	${\displaystyle x}$
${\displaystyle \arcsin x}$	${\displaystyle x}$
${\displaystyle \operatorname {arctg} x}$	${\displaystyle x}$
${\displaystyle 1-\cos x}$	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{2}}}$
${\displaystyle e^{x}-1}$	${\displaystyle x}$
${\displaystyle \ln(1+x)}$	${\displaystyle x}$
${\displaystyle (1+x)^{\alpha }-1}$	${\displaystyle \alpha x}$
${\displaystyle \operatorname {sh} x}$	${\displaystyle x}$
${\displaystyle \operatorname {th} x}$	${\displaystyle x}$
${\displaystyle \operatorname {arsh} x}$	${\displaystyle x}$
${\displaystyle \operatorname {arth} x}$	${\displaystyle x}$
${\displaystyle \operatorname {ch} x-1}$	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{2}}}$

Довольно известной является формула Стирлинга, приближающая факториал непрерывной функцией:

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$

Асимптотики полезны при оценке комбинаторных величин с достаточно большими параметрами. Например, подставив формулу Стирлинга в явную формулу вычисления биномиального коэффициента, можно получить, что:

${\displaystyle {\binom {2n}{n}}\sim {\sqrt {\frac {1}{\pi n}}}2^{2n}}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$

Количество простых чисел, меньших некоторого заданного числа, также имеет простое асимптотическое приближение:

${\displaystyle \pi (n)\sim {\frac {n}{\ln {n}}}}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$,

где ${\displaystyle \pi (n)}$ — количество простых чисел, меньших ${\displaystyle n}$

• Относительная погрешность стремится к нулю. Если ${\displaystyle f(x)\sim g(x)}$ по базе ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, то относительная погрешность по этой базе стремится к нулю. Это свойство и приводит вообще к определению асимптотического равенства. Заметим, что абсолютна погрешность вовсе не обязана стремиться к нулю. Пример: ${\displaystyle x\sim x+1}$ при ${\displaystyle x\to \infty }$, но их абсолютная погрешность постоянна и равна ${\displaystyle 1}$.
• Замена на эквивалентное в пределе. Если ${\displaystyle f(x)\sim g(x)}$ по базе ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, то ${\displaystyle \lim _{\mathfrak {B}}f(x)=\lim _{\mathfrak {B}}g(x)}$ в том смысле, что пределы либо равны, либо оба не существуют.

Это свойство позволяет заменять выражение под знаком предела на эквивалентное. Именно на нём основана техника вычисления пределов с помощью эквивалентностей.

• Алгебраические операции над эквивалентностями. Пусть далее ${\displaystyle f(x)\sim f_{1}(x)}$, ${\displaystyle g(x)\sim g_{1}(x)}$, ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ по базе ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$. Тогда

${\displaystyle f(x)g(x)\sim f_{1}(x)g_{1}(x)}$ по базе ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$.

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}\sim {\frac {f_{1}(x)}{g_{1}(x)}}}$ по базе ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$.

${\displaystyle (f(x))^{m}\sim (f_{1}(x))^{m}}$ по базе ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$.

Все равенства тут в смысле пределы либо равны, либо оба не существуют. Последнее свойство может быть обобщено и на случай дробной степени, однако так как отрицательные числа возводить в нецелую степень нельзя, необходимо предварительно проверить, будут ли итоговые функции определены на каком-либо элементе базы. Для арифметических корней нечётной степени свойство может быть применено без дополнительных проверок.

Эти свойства широко используются на практике для вычисления предела. Пример:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x(e^{x}-1)}{(\ln(x+1))^{2}\cdot e^{x-1}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x\cdot x}{x^{2}\cdot e^{-1}}}=e}$

Заметим, что аналогичного свойства для суммы нет: сумма эквивалентных не обязана быть эквивалентна сумме.

• Представление через о-малое. ${\displaystyle f(x)\sim g(x)\Leftrightarrow f(x)=g(x)+o(f(x))=g(x)+f(x)o(1)}$

Так как это альтернативное определение эквивалентности, его можно использовать и в обратную сторону. К примеру: ${\displaystyle x+\ln x\sim x}$ при ${\displaystyle x\to +\infty }$, поскольку ${\displaystyle \ln x=o(x)}$. Это позволяет в эквивалентностях избавляться от малых слагаемых. Пример:

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }(e^{x}-x^{1}0-lnx)=\lim _{x\to +\infty }e^{x}=+\infty }$

Это свойство в прямую сторону часто используется в комбинации со следующим:

• o-малое есть о-малое от эквивалентного. ${\displaystyle f(x)\sim g(x)\Rightarrow o(f(x))=o(g(x))}$

Несмотря на то, что в сумме на эквивалентные заменять нельзя, можно воспользоваться последними двумя свойствами:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x+\ln(x+1)}{e^{x}-1+\operatorname {arctg} {x}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x+o(\sin x)+x+o(\ln(x+1))}{x+o(e^{x}-1)+o(\operatorname {arctg} {x})}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2x+o(x)}{2x+o(x)}}=\lim _{x\to 0}{\dfrac {2x+o(1)x}{2x+o(1)x}}=\lim _{x\to 0}{\dfrac {2+o(1)}{2+o(1)}}={\frac {2}{2}}=1}$

• Если функции эквивалентны по некоторой базе, то они эквивалентны по любой более сильной базе. Пример: ${\displaystyle \sin x\sim x}$ при ${\displaystyle x\to 0}$, а значит они эквивалентны и при ${\displaystyle x\to 0+}$.

Теорема об эквивалентности сложных функций как и теорема о пределе сложной функции имеет непростую формулировку. Сформулируем 3 варианта этой теоремы:

• Эквивалентность сложных функций.
  • Для непрерывных функций. Пусть ${\displaystyle f(x)\sim g(x)}$ при ${\displaystyle x\to x_{0}}$, ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ непрерывны в точке ${\displaystyle x_{0}}$, ${\displaystyle \lim _{\mathfrak {B}}h(x)=x_{0}}$. Тогда ${\displaystyle f(h(x))\sim g(h(x))}$ по базе ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$.

Версия теоремы для непрерывных функций, впрочем, покрывает большинство примеров, встречающихся на практике. К примеру: ${\displaystyle \sin {\dfrac {1}{x}}\sim {\dfrac {1}{x}}}$ при ${\displaystyle x\to \infty }$. Для разрывных функций требуется дополнительное условие.

• Для разрывных функций. Пусть ${\displaystyle f(x)\sim g(x)}$ при ${\displaystyle x\to x_{0}}$, ${\displaystyle \lim _{\mathfrak {B}}h(x)=x_{0}}$, ${\displaystyle h(x)}$ на некотором элементе базы нигде не принимает значение ${\displaystyle x_{0}}$. Тогда ${\displaystyle f(h(x))\sim g(h(x))}$ по базе ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$.

Оба этих свойства являются следствием общей теоремы для пределов по произвольной базе.

• Для произвольной базы. Пусть ${\displaystyle f(x)\sim g(x)}$ по ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$, ${\displaystyle h(x)}$ определена на некотором элементе базы ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ и для любого элемента ${\displaystyle d}$ базы ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ существует элемент ${\displaystyle b}$ базы ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, такой что ${\displaystyle h(b)\subseteq d}$. Тогда ${\displaystyle f(h(x))\sim g(h(x))}$ по базе ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$.

• Пусть ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ положительны на некотором элементе базы. ${\displaystyle f(x)\sim g(x)}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \ln {f(x)}=\ln {g(x)}+o(1)}$.
• Если ${\displaystyle f(x)\sim g(x)}$, ${\displaystyle c=\operatorname {const} {}}$ и ${\displaystyle A(x)=(c+o(1))^{f(x)}}$, то ${\displaystyle A(x)=(c+o(1))^{g(x)}}$.
• Эквивалентность рядов. Согласно теореме Штольца, для двух бесконечных рядов:

${\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{a_{n}}}$ и ${\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{b_{n}}}$,

если ${\displaystyle \forall n:\ b_{n}>0}$ и ряд:

${\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{b_{n}}}$

расходится, то из ${\displaystyle a_{n}\sim b_{n}}$ следует, что:

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{n}{a_{k}}\sim \sum \limits _{k=0}^{n}{b_{k}}}$.

Сходным по смыслу с асимптотическим равенством, но менее строгим отношением является наличие одинакового порядка функций. Говорят, что функции ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ имеют одинаковый порядок, если ${\displaystyle \exists a,A:\ \exists X:\ \forall x>X:ag(x)\leqslant f(x)\leqslant Ag(x)}$. В этом случае используют обозначение ${\displaystyle f(x)=\Theta (g(x))}$ или ${\displaystyle f(x)\in \Theta (g(x))}$. В случае если эти функции бесконечно малые порядок обычно называют порядком малости, а если бесконечно большие, то порядком роста.

При этом из одинаковости порядка отнюдь не следует существование константы ${\displaystyle c}$ такой, что ${\displaystyle cf(x)\sim g(x)}$. Для примера достаточно заметить, что ${\displaystyle x(1+|\sin {x}|)=\Theta (x)}$, так как ${\displaystyle x\leqslant x(1+|\sin {x}|)\leqslant 2x}$, однако не существует такой константы ${\displaystyle c}$, что ${\displaystyle x(1+|\sin {x}|)\sim cx}$.

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. В 3-х томах. Том 1 (рус.). — М.: Дрофа, 2003. — 704 p.
• Архипов, Г. И. Лекции по математическому анализу : учеб. для вузов / Г. И. Архипов, В. А. Садовничий, В. Н. Чубариков ; под ред. В. А. Садовничего. — 5-е изд., испр.. — М.: Дрофа, 2004. — 640 с. — (Классический университетский учебник). — ISBN 5-7107-8900-3.
• Asymptotic equality (неопр.). Encyclopedia of Mathematics.