Теорема Штольца

Пусть ${\displaystyle a_{n}}$ и ${\displaystyle b_{n}}$ — две последовательности вещественных чисел, причём ${\displaystyle b_{n}}$ положительна, неограничена и строго возрастает (хотя бы начиная с некоторого члена). Тогда, если существует предел

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}}}$,

то существует и предел

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$,

причём эти пределы равны.

Ниже приводится доказательство по Фихтенгольцу[2], другое доказательство приведено в книге Архипова, Садовничего и Чубарикова[3].

Допустим сначала, что предел равен конечному числу ${\displaystyle L}$, тогда для любого заданного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такой номер ${\displaystyle N>0}$, что при ${\displaystyle n>N}$ будет иметь место:

${\displaystyle L-{\frac {\varepsilon }{2}}<{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}}<L+{\frac {\varepsilon }{2}}}$.

Значит, для любого ${\displaystyle n>N}$ все дроби:

${\displaystyle {\frac {a_{N+1}-a_{N}}{b_{N+1}-b_{N}}},{\frac {a_{N+2}-a_{N+1}}{b_{N+2}-b_{N+1}}},...,{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}}}$

лежат между этими же границами. Так как знаменатели этих дробей положительны (в силу строго возрастания последовательности ${\displaystyle b_{n}}$), то, по свойству медианты, между теми же границами содержится и дробь:

${\displaystyle {\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}}$,

числитель которой есть сумма числителей написанных выше дробей, а знаменатель — сумма всех знаменателей. Итак, при ${\displaystyle n>N}$:

${\displaystyle \left|{\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\right|<{\frac {\varepsilon }{2}}}$.

Теперь рассмотрим следующее тождество (проверяемое непосредственно):

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L={\frac {a_{N}-Lb_{N}}{b_{n}}}+\left(1-{\frac {b_{N}}{b_{n}}}\right)\left({\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\right)}$,

откуда имеем

${\displaystyle \left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L\right|\leq \left|{\frac {a_{N}-Lb_{N}}{b_{n}}}\right|+\left|{\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\right|}$.

Второе слагаемое при ${\displaystyle n>N}$ становится меньше ${\displaystyle {\frac {\varepsilon }{2}}}$, первое слагаемое также станет меньше ${\displaystyle {\frac {\varepsilon }{2}}}$, при ${\displaystyle n>M}$, где ${\displaystyle M}$ — некоторый достаточно большой номер, в силу того, что ${\displaystyle b_{n}\to +\infty }$. Если взять ${\displaystyle M>N}$, то при ${\displaystyle n>M}$ будем иметь

${\displaystyle \left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L\right|<\varepsilon }$,

что и доказывает наше утверждение.

Случай бесконечного предела можно свести к конечному. Пусть, для определённости:

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}}=+\infty }$,

из этого следует, что при достаточно больших ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle a_{n}-a_{n-1}>b_{n}-b_{n-1}}$ и

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=+\infty }$,

причём последовательность ${\displaystyle a_{n}}$ строго возрастает (начиная с определённого номера). В этом случае, доказанную часть теоремы можно применить к обратному отношению ${\displaystyle b_{n} \over a_{n}}$:

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}=0}$,

откуда и следует, что:

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=+\infty }$.

Если предел равен ${\displaystyle -\infty }$, то нужно рассмотреть последовательность ${\displaystyle \{-a_{n}\}}$.

Одним из следствий теоремы Штольца является регулярность метода суммирования Чезаро. Это означает, что если последовательность ${\displaystyle a_{n}}$ сходится к числу ${\displaystyle a}$, то последовательность средних арифметических ${\displaystyle {\frac {a_{1}+\dots +a_{n}}{n}}}$ сходится к этому же числу.

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Физматлит, 2003. — Т. 1. — С. 78—79.
• Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу / Под ред. В. А. Садовничего. — М.: Высшая школа, 1999. — С. 43—44. — ISBN 5-06-003596-4.