Теорема Холево

Как и для других концепций квантовой теории информации, понять суть вопроса легче на примере общения двух людей. Пусть у нас есть Алиса и Боб. У Алисы есть классическая случайная величина X, которая может принимать значения {1, 2, …, n} с соответствующими вероятностями ${\displaystyle \{p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}\}}$. Алиса подготавливает квантовое состояние, представленное матрицей плотности ${\displaystyle \rho _{X}}$, выбранной из множества ${\displaystyle \{\rho _{1},\rho _{2},\dots \rho _{n}\}}$, и передаёт это состояние Бобу. Целью Боба является поиск значения X, которое осуществляется через измерение состояния ${\displaystyle \rho _{X}}$, что даёт классический результат, обозначаемый через Y. В этом контексте количество доступной информации, то есть, количество информации, которую Боб может получить посредством переменной X, является максимальным значением взаимной информации I(X:Y) между случайными переменными X и Y по всем возможным измерениям, которые Боб может сделать[1].

В настоящее время не известно формулы вычисления доступной информации. Имеется, однако, несколько верхних границ, из которых наиболее известна граница Холево, которая выражается следующей теоремой[1].

Пусть ${\displaystyle \{\rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n}\}}$ будет множеством смешанных состояний и пусть ${\displaystyle \rho _{X}}$ будет одним из этих состояний, извлечённым согласно распределению вероятности ${\displaystyle P=\{p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}\}}$.

Теперь для любого измерения, описываемого элементами POVM (англ. positive operator-valued measure, положительная операторная мера) ${\displaystyle \{E_{Y}\}}$ и осуществлённого на ${\displaystyle \rho =\sum _{X}p_{X}\rho _{X}}$, количество доступной информации от переменной X в виде результата измерения Y ограничен сверху следующим образом:

${\displaystyle I(X:Y)\leqslant S(\rho )-\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i})}$

где ${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}\rho _{i}}$ ; ${\displaystyle S(\cdot )}$ является энтропией фон Неймана.

Величина в правой части неравенства называется информацией Холево или величина χ Холево:

${\displaystyle \chi$ :=S(\rho )-\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i})} .

Для доказательства рассмотрим три квантовые системы с именами ${\displaystyle P,Q,M}$. При этом ${\displaystyle P}$ рассматривается как подготовка, ${\displaystyle Q}$ — как квантовое состояние, подготовленное Алисой и переданное Бобу, а ${\displaystyle M}$ — как средства измерения полученной информации Боба.

Сложная система ${\displaystyle P\otimes Q\otimes M}$ в начале находится в состоянии

${\displaystyle \rho ^{PQM}:=\sum _{x}p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}\otimes |0\rangle \langle 0|}$

Состояние Алисы ${\displaystyle P}$ можно рассматривать так, как если бы Алиса имела значение ${\displaystyle x}$ для случайной переменной ${\displaystyle X}$. Тогда состояние подготовки является смешанным состоянием, описываемым матрицей плотности ${\displaystyle \sum _{x}p_{x}|x\rangle \langle x|}$, квантовое состояние, переданное Бобу, равно ${\displaystyle \sum _{x}p_{x}\rho _{x}}$, а средства измерения Боба находятся в их начальном или холостом состоянии ${\displaystyle |0\rangle }$.

Используя известные результаты квантовой теории информации^{[какие?]} можно показать^[как?], что

${\displaystyle S(P';M')\leqslant S(P;Q)}$

Также после некоторых алгебраических выкладок можно показать^[как?], что это эквивалентно утверждению теоремы[1].

По существу, граница Холево доказывает, что для n кубит, хотя они могут «нести» большее количество (классической) информации благодаря квантовой суперпозиции, количество классической информации, которую можно извлечь, то есть получить на практике, не превышает n классических (то есть не закодированных квантово) бит. Это удивительно по двум причинам:

1. квантовые вычисления часто настолько более мощные по сравнению с обычными вычислениями, что результаты, показывающие, что они лишь незначительно лучше, или даже хуже обычных техник, выглядят странно;
2. требуется ${\displaystyle 2^{n}}$ комплексных чисел для кодирования кубита, который представляет лишь n бит.

• Квантовое сверхплотное кодирование