Теорема Рохлина о сигнатуре

Теорема Рохлина о сигнатуре — теорема четырёхмерной топология. Доказана Владимиром Абрамовичем Рохлиным в 1952 году.

Формулировка

Предположим гладкое замкнутое односвязное 4-мерное многообразие $M$ удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

$M$ имеет спинорную структуру.
$w_{2}(M)=0$ ; то есть, второй класс Штифеля — Уитни равен нулю.
Форма пересечений $M$ чётна.

Тогда сигнатура его формы пересечения делится на 16.

Замечания

По теореме Джахита Арфа, любая чётная унимодулярная решетка имеет сигнатуру, кратную 8, поэтому теорема Рохлина влечёт всго лишь один дополнительный двойку делящую сигнатуру. По этой причине теорема иногда называется «Рохлинской двойкой»

Поверхность K3 компактна, четырехмерна и $w_{2}(M)=0$ , а её сигнатура равна 16. В частности делимость в теореме Рохлина невозможно улучшит.

Комплексная поверхность в $\mathbb {CP} ^{3}$ степени $d$ имеет сигнатуру $(4-d^{2})d/3$ , что видно из теоремы Фридриха Хирцебруха о роде многообразия. При $d=4$ получаем K3-поверхность.

Многообразие E8 Майкла Фридмана является односвязным компактным топологическим многообразием с $w_{2}(M)=0$ и форма пересечения $E_{8}$ signature 8. Из теоремы Рохлина следует, что это многообразие не имеет гладкой структуры. В частности теорема Рохлина неверна для топологических (не гладких) многообразий.

Если многообразие $M$ односвязно (или, в более общем случае, если первая группа гомологий не имеет 2-кручения), то $w_{2}(M)=0$ эквивалентно чётности формы пересечения. Для неодносвязных многообразий это не так: поверхность Энриквеса представляет собой компактное гладкое 4-многообразие и имеет чётную форму пересечения, но $w_{2}(M)\neq 0$ .

О доказательствах

Теорема Рохлина может быть выведена из того факта, что третья устойчивая гомотопическая группа сфер $\pi _{3}^{S}$ является циклическим порядка 24; это оригинальный подход Рохлина.

Её можно вывести из теоремы Атьи — Зингера об индексе.

Робион Кёрби дал другое доказательство.

Ссылки

Александр Александрович Гайфуллин, Рохлинская двойка, занатия (часть 1) + (часть 2) + (часть 3) на YouTube.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.