Теорема Вейля о равномерном распределении

Теорема Вейля о равномерном распределении формулирует критерий равномерной распределённости бесконечной последовательности вещественных чисел из отрезка .

Теорема была доказана в 1914 и опубликована в 1916 году Германом Вейлем.[1][2]

Определения

Пусть  — бесконечная последовательность вещественных чисел из интервала

Для чисел обозначим через количество чисел из , лежащих в отрезке .

Определим предельное наибольшее отклонение как .

Последовательность называется равномерно распределённой в если . Иными словами, последовательность равномерно распределённа в если в любом ненулевом отрезке доля элементов, попадающих в этот отрезок, стремится к доле размера отрезка в .

Формулировка теоремы

Последовательность равномерно распределена в тогда и только тогда, когда для любой интегрируемой по Риману на отрезке функции выполняется тождество:

Следствия

Критерий с тригонометрическими суммами

Теорема Вейля позволяет вывести прямую связь равномерности распределения с тригонометрическими суммами.[2]

Последовательность равномерно распределена в тогда и только тогда, когда для любого целого выполнено

Доказательство последнего утверждения проводится аналогично доказательству основной теоремы (см. выше), только вместо аппроксимации кусочно-линейной функцией используется аппроксимация частичными суммами ряда Фурье.

Константа в формуле фактически является значением интеграла .

Дробные части от кратных иррациональным

Благодаря формулировке теоремы, использующей тригонометрические суммы, легко вывести следующий результат:

Обозначим через дробную часть числа

Если  — иррациональное число, то последовательность равномерно распределена в .

Литература

  • Кейперс Л., Нидеррайтер Г. Равномерное распределение последовательностей. М.: Наука, 1985. — 408 с.
  • Касселс Дж.В.С. Введение в теорию диофантовых приближений. М.: Издательство иностранной литературы, 1961. — 213 с.

Примечания

  1. Hermann Weyl. Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins // Mathematische Annalen. — 1916. — Vol. 77. С. 313-352.
  2. К. Чандрасекхаран. Введение в аналитическую теорию чисел. — Мир, 1968.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.