Теорема Вейля о равномерном распределении

Теорема Вейля о равномерном распределении формулирует критерий равномерной распределённости бесконечной последовательности вещественных чисел из отрезка $(0;1)$ .

Теорема была доказана в 1914 и опубликована в 1916 году Германом Вейлем.[1][2]

Определения

Пусть $\xi _{1},\xi _{2},\dots$ — бесконечная последовательность вещественных чисел из интервала $(0;1)$

Для чисел $a,b\in (0;1),\ a<b$ обозначим через $\varphi _{n}(a,b)=\#\left\lbrace {k:1\leq k\leq n,\xi _{k}\in (a;b)}\right\rbrace$ количество чисел из $\xi _{1},\dots ,\xi _{n}$ , лежащих в отрезке $(a;b)$ .

Определим предельное наибольшее отклонение как $D_{\xi }=\lim \sup _{n\to \infty }{\left({{\frac {\varphi _{n}(a,b)}{n}}-(b-a)}\right)}$ .

Последовательность $\xi _{1},\xi _{2},\dots$ называется равномерно распределённой в $(0;1)$ если $D_{\xi }=0$ . Иными словами, последовательность равномерно распределённа в $(0;1)$ если в любом ненулевом отрезке доля элементов, попадающих в этот отрезок, стремится к доле размера отрезка в $(0;1)$ .

Формулировка теоремы

Последовательность $\left({\xi _{n}}\right)_{n=1}^{\infty },\xi _{n}\in (0;1)$ равномерно распределена в $(0;1)$ тогда и только тогда, когда для любой интегрируемой по Риману на отрезке $(0;1)$ функции $f$ выполняется тождество:

\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k})}}=\int \limits _{0}^{1}{f(x)dx}

Доказательство

Очевидно, что утверждение о равномерной распределённости эквивалентно выполнению тождества для кусочно-постоянных функций вида $f(x)=\left\lbrace {\begin{matrix}1,x\in (a;b)\\0,x\not \in (a;b)\end{matrix}}\right.$ . Это сразу обеспечивает следствие равномерности из выполнения тождества для всех функций.

Более того, в случае равномерной распределённости последовательности, с помощью композиции таких функций и соответствующих умножений (на константу) и сложений пределов и интегралов можно доказать выполнение тождества для любой кусочно-постоянной функции.

Так как любая интегрируемая по Риману функция $f$ может быть с точностью до величины интеграла $\varepsilon =\int _{0}^{1}{|f(x)-f_{1}(x)|dx}$ аппроксимирована кусочно-постоянной функцией $f_{1}$ (причём такой, что $\forall x:\ |f_{1}(x)-f(x)|<\varepsilon$ ) для $\varepsilon >0$ , то

{\Bigg |}{\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f_{1}(\xi _{k})}}-\int _{0}^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}={\Bigg |}{\int _{0}^{1}{f_{1}(x)dx}-\int _{0}^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}<\varepsilon

\exists N:\ \forall n>N:\ {\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f_{1}(\xi _{k})}-\int _{0}^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}<2\varepsilon

Так как по определению $f_{1}$ следует ${\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k})}-{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f_{1}(\xi _{k})}}{\Bigg |}={\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{(f(\xi _{k})-f_{1}(\xi _{k}))}}{\Bigg |}<{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{|f(\xi _{k})-f_{1}(\xi _{k})}|<\varepsilon$ , то для достаточно больших $n$ будет выполнено

{\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k})}-\int _{0}^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}<\varepsilon

,

Так как в эти рассуждения можно подставить сколь угодно малое $\varepsilon >0$ , то это и означает, что

\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k})}}=\int _{0}^{1}{f(x)dx}

Следствия

Критерий с тригонометрическими суммами

Теорема Вейля позволяет вывести прямую связь равномерности распределения с тригонометрическими суммами.[2]

Последовательность $\left({\xi _{n}}\right)_{n=1}^{\infty },\xi _{n}\in (0;1)$ равномерно распределена в $(0;1)$ тогда и только тогда, когда для любого целого $m\not =0$ выполнено

\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{e^{2\pi m\xi _{k}i}}}=0

Доказательство последнего утверждения проводится аналогично доказательству основной теоремы (см. выше), только вместо аппроксимации кусочно-линейной функцией используется аппроксимация частичными суммами ряда Фурье.

Константа $0$ в формуле фактически является значением интеграла $\int \limits _{0}^{1}{e^{2\pi mxi}dx}=0$ .

Дробные части от кратных иррациональным

Благодаря формулировке теоремы, использующей тригонометрические суммы, легко вывести следующий результат:

Обозначим через $\left\lbrace {x}\right\rbrace$ дробную часть числа $x$

Если $\xi \in {\mathbb {R} }$ — иррациональное число, то последовательность $\left\lbrace {\xi }\right\rbrace ,\left\lbrace {2\xi }\right\rbrace ,\left\lbrace {3\xi }\right\rbrace ,\dots ,\left\lbrace {n\xi }\right\rbrace ,\dots$ равномерно распределена в $(0;1)$ .

Доказательство

Для доказательства через критерий равномерности в тригонометрической форме достаточно оценить модуль тригонометрической суммы при иррациональном $\xi _{k}=k\xi$ и целом $m\not =0$ . Для этого можно воспользоваться простейшей формулой суммы геометрической прогрессии.

{\Bigg \vert }{\sum \limits _{k=1}^{n}{e^{2\pi mk\xi }}}{\Bigg \vert }={\Bigg \vert }{\frac {e^{2\pi m\xi }-e^{2\pi m(n+1)\xi }}{1-e^{2\pi m\xi }}}{\Bigg \vert }={\frac {\vert {e^{2\pi m\xi }-e^{2\pi m(n+1)\xi }}\vert }{\vert {e^{2\pi m\xi }-1}\vert }}<{\frac {2}{\vert {e^{2\pi m\xi }-1}\vert }}

Так как величина $\vert {e^{2\pi m\xi }-1}\vert$ не зависит от $n$ , то при каждом отдельном фиксированном $m\not =0$ из неравенства выше следует

\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{e^{2\pi mk\xi i}}}=0

Литература

Кейперс Л., Нидеррайтер Г. Равномерное распределение последовательностей. — М.: Наука, 1985. — 408 с.
Касселс Дж.В.С. Введение в теорию диофантовых приближений. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961. — 213 с.

Примечания

Hermann Weyl. Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins // Mathematische Annalen. — 1916. — Vol. 77. — С. 313-352.
К. Чандрасекхаран. Введение в аналитическую теорию чисел. — Мир, 1968.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Hermann Weyl. Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins // Mathematische Annalen. — 1916. — Vol. 77. — С. 313-352.

[Chandrasekharan-2] К. Чандрасекхаран. Введение в аналитическую теорию чисел. — Мир, 1968.