Сумма трёх кубов

Для ${\displaystyle n=0}$ существуют только тривиальные решения

${\displaystyle a^{3}+(-a)^{3}+0^{3}=0.}$

Нетривиальное представление 0 в виде суммы трёх кубов дало бы контрпример к доказанной Леонардом Эйлером последней теореме Ферма для степени 3[6]: поскольку один из трёх кубов будет иметь противоположный к двум другим числам знак, следовательно его отрицание равно сумме этих двух.

Для ${\displaystyle n=1}$ и ${\displaystyle n=2}$ существует бесконечное число семейств решений, например (1 — Малер, 1936, 2 — Веребрюсов, 1908):

${\displaystyle (9b^{4})^{3}+(3b-9b^{4})^{3}+(1-9b^{3})^{3}=1,}$

${\displaystyle (1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}=2.}$

Существуют другие представления и другие параметризованные семейства представлений для 1[7]. Для 2 другими известными представлениями являются[7][8]

${\displaystyle 1\ 214\ 928^{3}+3\ 480\ 205^{3}+(-3\ 528\ 875)^{3}=2,}$

${\displaystyle 37\ 404\ 275\ 617^{3}+(-25\ 282\ 289\ 375)^{3}+(-33\ 071\ 554\ 596)^{3}=2,}$

${\displaystyle 373\ 783\ 0626\ 090^{3}+1\ 490\ 220\ 318\ 001^{3}+(-3\ 815\ 176\ 160\ 999)^{3}=2.}$

Эти равенства можно использовать для разложения любого куба или удвоенного куба на сумму трёх кубов[1][9].

Однако 1 и 2 являются единственными числами с представлениями, которые могут быть параметризованы полиномами четвёртой степени[10]. Даже в случае представлений ${\displaystyle n=3}$ Луи Дж. Морделл написал в 1953 году: «я ничего не знаю», кроме небольших решений

${\displaystyle 4^{3}+4^{3}+(-5)^{3}=3,}$

${\displaystyle 1^{3}+1^{3}+1^{3}=3,}$

и ещё того, что все три куба должны быть равны 1 по модулю 9[11][12]. 17 сентября 2019 года Эндрю Букер и Эндрю Сазерленд, нашедшие представление для сложных случаев 33 и 42 (см. ниже), опубликовали ещё одно представление 3, для нахождения которого было затрачено 4 млн. часов в вычислительной сети Charity Engine[13][14]:

${\displaystyle 569\ 936\ 821\ 221\ 962\ 380\ 720^{3}+(-569\ 936\ 821\ 113\ 563\ 493\ 509)^{3}+(-472\ 715\ 493\ 453\ 327\ 032)^{3}=3,}$

С 1955 года, вслед за Морделлом, многие исследователи осуществляют поиск решений с помощью компьютера[15][16][8][17][18][19][20][2][21][22].

В 1954 году Миллер и Вуллетт находят представления для 69 чисел от 1 до 100. В 1963 году Гардинер, Лазарус, Штайн исследуют интервал от 1 до 999, они находят представления для многих чисел, кроме 70 чисел, из которых 8 значений меньше 100. В 1992 году Хит-Браун и др. нашли решение для 39. В 1994 году Кояма, используя современные компьютеры, находит решения для ещё 16 чисел от 100 до 1000. В 1994 году Конн и Вазерштайн — 84 и 960. В 1995 году Бремнер — 75 и 600, Люкс — 110, 435, 478. В 1997 году Кояма и др. — 5 новых чисел от 100 до 1000. В 1999 году Элкис — 30 и ещё 10 новых чисел от 100 до 1000. В 2007 году Бек и др. — 52, 195, 588[2]. В 2016 году Хёйсман — 74, 606, 830, 966[22].

Elsenhans и Jahnel в 2009 году[21] использовали метод Элкиса[20], применяющий редуцирование базиса решётки для поиска всех решений диофантова уравнения ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$ для положительных ${\displaystyle n}$ не больше 1000 и для ${\displaystyle \max {\big (}|x|,|y|,|z|{\big )}<10^{14}}$[21], затем Хёйсман в 2016 году[22] расширил поиск до ${\displaystyle \max {\big (}|x|,|y|,|z|{\big )}<10^{15}}$.

Весной 2019 года Эндрю Букер (Бристольский университет) разработал другую стратегию поиска со временем расчётов пропорциональным ${\displaystyle \min {\big (}|x|,|y|,|z|{\big )}}$, а не их максимуму, и нашёл представление 33 и 795[23][24][25]:

${\displaystyle 33=8\ 866\ 128\ 975\ 287\ 528^{3}+(-8\ 778\ 405\ 442\ 862\ 239)^{3}+(-2\ 736\ 111\ 468\ 807\ 040)^{3},}$

${\displaystyle 795=(-14\ 219\ 049\ 725\ 358\ 227)^{3}+14\ 197\ 965\ 759\ 741\ 571^{3}+2\ 337\ 348\ 783\ 323\ 923^{3}.}$

В сентябре 2019 года Букер и Эндрю Сазерленд закрыли интервал до 100, найдя представление 42, для чего было затрачено 1,3 миллиона часов расчёта в глобальной вычислительной сети Charity Engine[26]:

${\displaystyle 42=(-80\ 538\ 738\ 812\ 075\ 974)^{3}+80\ 435\ 758\ 145\ 817\ 515^{3}+12\ 602\ 123\ 297\ 335\ 631^{3}.}$

Позже, в этом же месяце, они нашли разложение числа 906 [27]:

${\displaystyle 906=(-74\ 924\ 259\ 395\ 610\ 397)^{3}+72\ 054\ 089\ 679\ 353\ 378^{3}+35\ 961\ 979\ 615\ 356\ 503^{3}.}$

А затем 165[28]:

${\displaystyle 165=(-385\ 495\ 523\ 231\ 271\ 884)^{3}+383\ 344\ 975\ 542\ 639\ 445^{3}+98\ 422\ 560\ 467\ 622\ 814^{3}.}$

На 2019 год были найдены представления всех чисел до 100, не равных 4 или 5 по модулю 9. Остаются неизвестными представления для 7 чисел от 100 до 1000: 114, 390, 627, 633, 732, 921, 975[26].

Наименьший нерешённый случай — ${\displaystyle n=114}$[26].