Равноугольный многоугольник

В евклидовой геометрии равноугольный многоугольник — это многоугольник, чьи углы при вершинах равны. Если при этом равны и стороны, то получается правильный многоугольник.

Равноугольный четырёхугольник

Единственным равноугольным треугольником является правильный треугольник. Только прямоугольники, включая квадрат, являются равноугольными четырёхугольниками[1].

В равноугольном n-угольнике каждый угол равен ${\displaystyle 180^{\circ }-{\tfrac {360^{\circ }}{n}}}$. Это теорема о равноугольных многоугольниках.

Для равноугольных многоугольников верна теорема Вивиани[2]:

Сумма расстояний от внутренней точки до сторон равноугольного многоугольника не зависит от расположения точки и является инвариантом многоугольника.

Прямоугольник (равноугольный четырёхугольник) с целыми длинами сторон можно разделить на единичные квадраты, а равноугольный шестиугольник с целыми длинами сторон можно разделить на правильные треугольники. Некоторые, но не все, равноугольные двенадцатиугольники можно разложить на комбинацию единичных квадратов и равносторонних треугольников. Остальные можно разложить на эти два вида фигур с дополнительными ромбами с углами 30 ° и 150 °[1].

Вписанный многоугольник равноуголен в том и только в том случае, когда чередующиеся стороны равны (то есть, стороны 1, 3, 5, ... равны и стороны 2, 4, ... тоже равны). Таким образом, если n нечётно, циклический многоугольник равноуголен в том и только в том случае, когда он правильный[3].

Для простого числа p любой равноугольный p-угольник с целыми сторонами является правильным. Более того, любой равноугольный p^k-угольник с целыми сторонами имеет p-кратную вращательную симметрию[4].