Теорема Вивиани

Теорема Вивиани — утверждение в геометрии треугольника, согласно которому сумма расстояний от произвольной точки внутри равностороннего треугольника до его сторон постоянна и равна высоте треугольника. Названа по имени итальянского математика Винченцо Вивиани.

Сумма длин отрезков

l+m+n

равна высоте равностороннего треугольника.

В части постоянства суммы расстояний от произвольной внутренней точки до сторон утверждение может быть обобщено на равносторонние многоугольники и многоугольники с равными углами[1].

Доказательство

Теорема может быть доказана путём сравнения площадей треугольников. Пусть $\triangle ABC$ — равносторонний треугольник, в котором $h$ — высота, $s$ — длина каждой из сторон. Точка $P$ выбирается произвольно внутри треугольника, и тогда $l$ , $m$ , $n$ — расстояния от точки $P$ до сторон треугольника. Тогда площадь $\triangle ABC$ можно определить следующим образом:

S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}+S_{\triangle BCP}

,

из чего вытекают следующие соотношения:

{\frac {sh}{2}}={\frac {sl}{2}}+{\frac {sm}{2}}+{\frac {sn}{2}}

,

то есть:

h=\ell +m+n

.

Приложения

Треугольник взрываемости тройной смеси метан-кислород-азот. Синяя прямая соответствует смесям метана с воздухом, красная линия отвечает стехиометрическому составу.
ВПВ — верхний предел взрываемости;
НПВ — нижний предел взрываемости;
ПК — пороговая концентрация взрываемости.

Теорема Вивиани позволяет получать координаты точек на трёхкомпонентные диаграммы путём проведения линий, параллельных сторонам равностороннего треугольника. В частности, таким образом можно строить диаграммы воспламеняемости.

В более общем случае, они позволяют таким же образом задавать координаты на правильном симплексе.

Примечания

Elias Abboud «On Viviani’s Theorem and its Extensions» pp. 2, 11

Ссылки

Weisstein, Eric W. Viviani's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Li Zhou, Viviani Polytopes and Fermat Points
Viviani’s Theorem: What is it? at Cut the knot.
Viviani’s Theorem by Jay Warendorff, the Wolfram Demonstrations Project.
Viviani's theorem: Visualization + Proof на YouTube

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Elias Abboud «On Viviani’s Theorem and its Extensions» pp. 2, 11