Преобразование Хафа

При автоматизированном анализе цифровых изображений очень часто возникает проблема идентификации простых фигур, таких как прямые, круги или эллипсы. Во многих случаях используется алгоритм поиска границ в качестве предобработки для получения точек, находящихся на кривой в изображении. Однако, либо из-за зашумлённости изображения, либо из-за несовершенства алгоритма обнаружения границ, могут появиться «потерянные» точки на кривой, также как и небольшие отклонения от идеальной формы прямой, круга или эллипса. По этим причинам часто довольно сложно приписать найденные границы соответствующим прямым, кругам и эллипсам в изображении. Назначение преобразования Хафа — разрешить проблему группировки граничных точек путём применения определённой процедуры голосования к набору параметризованных объектов изображения.

В простейшем случае преобразование Хафа является линейным преобразованием для обнаружения прямых. Прямая может быть задана уравнением y = mx + b и может быть вычислена по любой паре точек (x, y) на изображении. Главная идея преобразования Хафа — учесть характеристики прямой не как уравнение, построенное по паре точек изображения, а в терминах её параметров, то есть m — углового коэффициента и b — точки пересечения с осью ординат. Исходя из этого прямая, заданная уравнением y = mx + b, может быть представлена в виде точки с координатами (b, m) в пространстве параметров.

Однако прямые, параллельные оси ординат, имеют бесконечные значения для параметра m[1][2]. Поэтому удобней представить прямую с помощью других параметров, известных как ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle \theta }$ [rho, theta]. Параметр ${\displaystyle r}$ — это длина радиус-вектора ближайшей к началу координат точки на прямой (то есть нормали к прямой, проведенной из начала координат), а ${\displaystyle \theta }$ — это угол между этим вектором и осью абсцисс. При таком описании прямых не возникают бесконечные параметры.

Таким образом, уравнение прямой можно записать как

${\displaystyle y=\left(-{\cos \theta \over \sin \theta }\right)x+\left({r \over {\sin \theta }}\right)}$,

или после преобразования

${\displaystyle r=x\cos \theta +y\sin \theta }$.

Поэтому возможно связать с каждой прямой на исходном изображении (в плоскости X-Y) точку с координатами r, θ в плоскости параметров, которая является уникальной при условии, что ${\displaystyle \theta \in [0,\pi ]}$ и ${\displaystyle r\in \mathbf {R} }$, или что ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ]}$ и ${\displaystyle r\geq 0}$.

Плоскость (r,θ) иногда называется Пространством Хафа для множества прямых в 2-мерном случае. Преобразование Хафа концептуально очень близко к 2-мерному преобразованию Радона (Radon transform) и может рассматриваться как его дискретное представление.

Через каждую точку плоскости может проходить бесконечно много прямых. Если эта точка имеет координаты ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ , то все прямые, проходящие через неё, соответствуют уравнению:

${\displaystyle r(\theta )=x_{0}\cdot \cos \theta +y_{0}\cdot \sin \theta }$.

Это соответствует синусоидальной линии в пространстве Хафа (r, θ), которая, в свою очередь, уникальна для данной точки и однозначно её определяет. Если эти линии (кривые), соответствующие двум точкам, накладываются друг на друга, то точка (в пространстве Хафа), где они пересекаются, соответствует прямым (в оригинальном месте изображения), которые проходят через обе точки. В общем случае, ряд точек, которые формируют прямую линию, определяют синусоиды, которые пересекаются в точке параметров для той линии. Таким образом, проблема обнаружения коллинеарных точек может быть сведена к проблеме обнаружения пересекающихся кривых.

Алгоритм преобразования Хафа использует массив, называемый аккумулятором, для определения присутствия прямой y = mx + b. Размерность аккумулятора равна количеству неизвестных параметров пространства Хафа. Например, для линейной трансформации нужно использовать двумерный массив, так как имеются два неизвестных параметра: m и b. Два измерения аккумулятора соответствуют квантованным значениям параметров m и b. Для каждой точки и её соседей алгоритм определяет, достаточен ли вес границы в этой точке. Если да, то алгоритм вычисляет параметры прямой и увеличивает значение в ячейке аккумулятора, соответствующей данным параметрам.

Потом, найдя ячейки аккумулятора с максимальными значениями, обычно поиском локального максимума в пространстве аккумулятора, могут быть определены наиболее подходящие прямые. Самый простой способ — это пороговая фильтрация. Однако в разных ситуациях разные методы могут давать разные результаты. Так как полученные прямые не содержат информацию о длине, следующим шагом является нахождение частей изображения, соответствующих найденным прямым. Более того, из-за ошибок на этапе определения границ фигур в пространстве аккумулятора также будут содержаться ошибки. Это делает поиск подходящих линий нетривиальным.

Рассмотрим исходное тестовое изображение из трех черных точек. Проверим, расположены ли точки на прямой линии.

• Через каждую точку проведено (для наглядности) только по шесть прямых, имеющих разный угол.
• К каждой прямой из начала координат построен перпендикуляр.
• Для всех прямых длина соответствующего перпендикуляра и его угол с осью абсцисс сведены в таблицу.
• Данные таблицы являются результатом преобразования Хафа и могут служить основой для графического представления в «пространстве Хафа».

Координаты точки пересечения синусоид определяют параметры прямой, общей для проверяемых точек на исходном изображении.

Следующий пример показывает результаты преобразования Хафа для изображения с двумя пересекающимися прямыми.

Результаты этого преобразования сохраняются в матрице. Значения в ячейках матрицы представляют собой количество кривых, проходящих через точку. Максимальные значения в ячейках соответствуют двум более ярким точкам на изображении и параметрам соответствующих прямых. Два ярких пятна — пересечения кривых двух линий. По этим пятнам можно определить угол и расстояние до прямой на исходном изображении.

Преобразование Хафа эффективно только при значительном количестве «попаданий» в соответствующий элемент пространства Хафа, только тогда можно с уверенностью определить фигуру, пренебрегая фоновым шумом. Это значит, что размер элемента не должен быть очень маленьким, иначе некоторые значения попадут в соседние элементы, уменьшая видимость нужного элемента.

Также, когда число параметров большое (больше трёх), среднее количество «попаданий» в элемент невелико, и поэтому верный элемент не будет очень сильно отличаться от соседей. Таким образом, алгоритм должен использоваться с большой осторожностью, чтобы не определить что-то иное как прямые и круги.

Эффективность алгоритма в большой степени обусловлена качеством входных данных: границы фигур на этапе предобработки изображения должны быть четко определены. Использование преобразования Хафа на зашумленных изображениях затруднено. Для зашумленных изображений необходим этап предобработки с целью подавления шума. В случае, если изображение повреждено, спекл, как в случае с изображением с индикатора радара, преобразование Радона предпочтительнее для определения линий, так как оно имеет хороший эффект шумоподавления при суммировании.

• Быстрое преобразование Хафа
• Обобщённое преобразование Хафа
• Преобразование Радона
• Преобразование Фурье

• https://web.archive.org/web/20070827233423/http://www.rob.cs.tu-bs.de/content/04-teaching/06-interactive/Hough.html - Java Applet + Исходники для изучения трансформации по уравнению y = mx + b
• https://web.archive.org/web/20070827191440/http://www.rob.cs.tu-bs.de/content/04-teaching/06-interactive/HNF.html - Java Applet + Исходники для изучения трансформации по уравнению в нормальной форме
• http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/hough.htm
• http://robocraft.ru/blog/computervision/502.html - Преобразование Хафа в OpenCV