Отображение тент

Отображение тент в теории динамических систем задаётся следующим образом:

Для значений отображение тент переводит отрезок в себя, являясь динамической системой c дискретным временем. В частности, орбитой точки из интервала является последовательность  :

График общего случая отображения тент
График случая для 1, 2 и 3 итераций отображения тент

Несмотря на то, что отображение тент является довольно простой нелинейной динамической системой, оно демонстрирует ряд свойств, характерных и для более сложных систем: существование периодических орбит, перемешивание, чувствительность к начальным условиям, т.е. хаотичность[1].

Свойства

Орбиты отображения для
Графики 1,2,3,4,5,6 итераций отображения тент для
  • Если , является притягивающей неподвижной точкой: система будет стремиться к нулю с устремлением времени в бесконечность при любом исходном значении из отрезка .
  • Если , все — неподвижные точки, а — предпериодические точки единичного периода (после одной итерации переходят в неподвижные).
  • Если , то отображение имеет две неподвижные точки: и . Причем обе из них будут неустойчивыми, то есть значения , лежащие в окрестностях неподвижных точек, будут отдаляться от них с последующими итерациями. Более того, для таких значений , в интервале содержатся и периодические, и непериодические точки.
  • Если , то система отображает множество интервалов из отрезка в себя, и их объединение является множеством Жюлиа отображения тент, т.е. множеством точек, чьи орбиты неустойчивы.
    • увеличение показывает, что при μ ≈ 1, множество Жюлиа состоит из нескольких интервалов. На диаграммах видно 4 и 8 интервалов при достаточном увеличении.
Графики 1,2,3,4,5,6 итераций отображения тент для
  • Если , то интервалы из отрезка сходятся и множество Жюлиа — это весь интервал (см. бифуркационную диаграмму).
Графики 1,2,3,4,5,6 итераций отображения тент для
  • Если , то система переводит отрезок [0;1] в себя. В этом случае периодические точки плотны на отрезке, так что отображение демонстрирует хаотичность[2]. Непериодическое поведение характерно только для иррациональных чисел, что может быть показано с помощью механизма, которым отображение действует на представленное в двоичной записи число: оно перемещает двоичную запятую вправо на один знак, а затем, если то, что оказалось слева от запятой — это единица, отбрасывает её и обращает все единицы в нули и наоборот (кроме последней единицы для чисел с конечной двоичной записью). Для иррационального числа, двоичная запись которого непериодична, это бесконечный процесс. Кроме того, стоит обратить внимание, что для отображение тент топологически сопряжено логистическому отображению для и полусопряжен отображению удвоения, что указывает на сходство динамических свойств этих отображений[3]. Действительно, пусть — орбита отображения тент при , а — орбита логистического отображения для , тогда они связаны соотношением: .
  • Если , множество Жюлиа отображения все еще содержит бесконечное количество и периодических, и непериодических точек, но почти всюду точки отрезка стремятся к бесконечности. Само множество становится канторовым. В частности, множество Жюлиа отображения тент для — стандартное канторово множество.

Асимметричное отображение тент

Также объектом изучения теории динамических систем является асимметричное отображение тент . Его можно считать расширением случая стандартного отображения тент:

Асимметричное отображение тент сохраняет вид кусочно-линейной функции и может быть использовано для представления вещественных чисел из по аналогии с десятичной записью[4].

См. также

Литература

  1. Lynch, Stephen. "Nonlinear discrete dynamical systems." Dynamical Systems with Applications using Maple. Birkhäuser Boston, 2010. 263-295.
  2. Li, Tien-Yien, and James A. Yorke. "Period three implies chaos." American mathematical monthly (1975): 985-992.
  3. Smale, Stephen, Morris W. Hirsch, and Robert L. Devaney. "Discrete dynamical systems." Differential equations, dynamical systems, and an introduction to chaos. Vol. 60. Academic Press, 2003. 327-357.
  4. Lagarias, J. C., H. A. Porta, and K. B. Stolarsky. "Asymmetric tent map expansions. I. Eventually periodic points." Journal of the London Mathematical Society 2.3 (1993): 542-556.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.