Перемешивание (динамические системы)

В теории динамических систем, перемешивание — свойство системы «забывать» информацию о начальном условии с течением времени. Более точно, различают топологическое и метрическое перемешивание. Первое относится к теории непрерывных систем и, грубо говоря, утверждает, что сколь бы точно ни было известно начальное положение точки, с течением времени возможное её местонахождение становится всё более и более плотным множеством. Второе относится к теории измеримых систем — систем, сохраняющих некоторую меру ${\displaystyle \mu }$ — и утверждает, что распределение абсолютно непрерывной относительно ${\displaystyle \mu }$ меры (например, ограничения ${\displaystyle \mu }$ на заданное подмножество начальных условий) при итерациях стремится к самой мере ${\displaystyle \mu }$.

Пусть ${\displaystyle G}$ - аттрактор хаотической системы, на которой заданы оператор эволюции системы ${\displaystyle S(G)}$ и инвариантная мера ${\displaystyle \mu }$. Сегментируем аттрактор на 2 области, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle W.}$ Отношение меры точек из области ${\displaystyle B}$, которые через ${\displaystyle n}$ итераций оператора эволюции ${\displaystyle S}$ попали в область ${\displaystyle W,}$ можно записать следующим образом:

${\displaystyle D_{n}={\frac {\mu (S^{n}(B)\cap W)}{\mu (W)}}.}$

Оператор эволюции ${\displaystyle S}$ является перемешиванием, если при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ значение ${\displaystyle D_{n}}$ не зависит от выбора области ${\displaystyle W,}$ а определяется отношением ${\displaystyle {\frac {\mu (S^{n}(B)\cap W)}{\mu (W)}}\rightarrow {\frac {\mu (B)}{\mu (G)}}}$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$. Эта формула, с физической точки зрения, описывает размывание любой области начальных условий ${\displaystyle B}$ по всем аттрактору ${\displaystyle G}$. В пределе, ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$, мера образов точек множества ${\displaystyle B}$ во множестве ${\displaystyle W}$ равна мере множества ${\displaystyle B}$ на аттракторе ${\displaystyle G}$ для произвольных множеств ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle W.}$[1]

Перемешивание цветного пластилина в шарике, подвергающемся последовательным отображениям Подковы Смейла