Нормальная высота

Впервые нормальные высоты введены[3] М. С. Молоденским, тогда они ещё не имели названия и были обозначены через ${\displaystyle q}$[4]. В работе того же Молоденского, нормальные высоты были названы вспомогательными[5]. Свое современное название эти высоты, по предложению Молоденского, получили в работе В.Ф. Ермеева[6]

М. С. Молоденский отметил, что определение малой разности между реальным и нормальным гравитационным полем Земли (аномальное поле) имеет строгое решение, если в возникающих уравнениях ввести «вспомогательные» высоты ${\displaystyle H^{\gamma }}$ под условием:

${\displaystyle W(H)-W_{0}(H=\zeta _{0})=U(H=H^{\gamma })-U_{0}(H=0)}$

В. Ф. Еремеев отметил, что «вспомогательные» высоты ближе к суммам нивелирных превышений, чем ортометрические высоты, и по предложению самого Молоденского был введён термин «нормальная высота»[7].

При измерении нивелирных превышений и вычислении геопотенциальных чисел в разных странах используют различные исходные пункты. Каждая изолированная нивелирная сеть, развитая от какого-либо футштока, определяет разности потенциалов точек этой сети относительно уровненной поверхности ${\displaystyle W=W_{0}}$, проходящей через исходный пункт данной сети. Поскольку уровень моря в разных районах различен, исходные пункты связаны с разными уровенными поверхностями, и по измерениям в изолированных сетях нельзя получить геопотенциальные числа для всей Земли в единой системе. Чтобы подчеркнуть это, говорят, что на данной территории развита система высот от определённого футштока. Так, в СССР была создана Балтийская система высот, в которой исходным пунктом служит Кронштадский футшток. Здесь термин «система» имеет смысл, как система, которая устанавливает некоторую уровенную поверхность, относительно который вычисляют разности потенциалов[8].

Система нормальных высот принята в России, странах СНГ и некоторых европейских странах, Швеция, Германия, Франция и др.).

В Австрии, Боснии и Герцеговине, Норвегии, Югославии приняты нормально-ортометрические высоты[8].

В случаях, когда высоты определены с не очень высокой точностью, все высоты, кроме геодезической, называют высотами над уровнем моря, или абсолютными высотами, а разность высот — относительными высотами. Это аналогично названию координат приближенно все координаты (астрономические, геодезические, геоцентрические) называют географическими[8].

• Геометрическое нивелирование
• Спутниковое нивелирование

Установим связь нормального геопотенциального числа ${\displaystyle U_{0}-U_{p}}$ с действительным ${\displaystyle W_{0}-W_{p}}$. Для потенциала в точке ${\displaystyle P}$

${\displaystyle W_{p}=W_{0}-(W_{0}-W_{p})}$;

${\displaystyle U_{p}=U_{0}-(U_{0}-U_{p})}$

образуем разность ${\displaystyle W_{p}-U_{p}}$. Учитывая что эта разность равна аномальному потенциалу ${\displaystyle T_{p}}$ получим

${\displaystyle (U_{0}-U_{p})=(W_{0}-W_{p})+T_{p}-(W_{0}-U_{0})}$

Действительное и нормальное геопотенциальное число различается на величину аномального потенциала в точке ${\displaystyle P}$ и разность ${\displaystyle W_{0}-U_{0}}$ потенциалов на геоиде и уровенном эллипсоиде.

Если бы гравитационное поле Земли совпадало с нормальным и потенциал ${\displaystyle W_{0}}$ на геоиде был равен потенциалу ${\displaystyle U_{0}}$ на уровенном эллипсоиде, нормальное и действительное геопотенциальное число точки ${\displaystyle P}$ тоже совпали бы. Однако на силовой линии ${\displaystyle P_{1}P}$ нормального поля, проходящей через точку ${\displaystyle P}$, всегда найдется такая точка ${\displaystyle P^{\gamma }}$ в которой нормальное геопотенциальное число тождественно равно действительному

${\displaystyle U_{0}-U_{p^{\gamma }}\equiv W_{0}-W_{p}}$

Причем поскольку нормальный потенциал всегда выбирают близким к действительному, точка ${\displaystyle P^{\gamma }}$ будет не далеко расположена от точки ${\displaystyle P}$[9].

Высота в нормальном поле определена как отрезок ${\displaystyle PP_{1}}$нормальной силовой линии от эллипсоида до любой точки ${\displaystyle P}$. Она отличается от геодезической высоты только из-за кривизны нормальной силовой линии, но это отличие практически не ощутимо. Высота в нормальном поле — это расстояние, измеряемое вдоль силовой линии нормального поля от эллипсоида до любой точки ${\displaystyle P}$, а нормальная высота — расстояние вдоль нормальной силовой линии от той же точки ${\displaystyle P_{1}}$ эллипсоида, но не до точки ${\displaystyle P}$, а до точки ${\displaystyle P^{\gamma }}$, в который выполняется тождество выше[9].

Отрезок ${\displaystyle P^{\gamma }{P}=\zeta }$ появляется из-за несовпадения действительного и нормального поля является элементом аномального поля. Его называют аномалией высоты.

Аномалию высоты получают как расстояние между уровенными поверхностями проходящими через точки ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle P^{\gamma }}$. Согласно формуле ${\displaystyle dU=-\gamma {dH_{H}}}$, полагая ${\displaystyle dU=U_{p}-U_{p\gamma }}$ и ${\displaystyle dH_{H}=\zeta }$, находим

${\displaystyle \zeta ={U{p\gamma }-U_{p} \over \gamma }}$

где ${\displaystyle \gamma }$ — среднее значение нормальной силы тяжести на отрезке ${\displaystyle \zeta }$[9]

Высота ${\displaystyle H_{H}=P_{1}{P}}$ равна сумме нормальной высоты и аномалии высоты

${\displaystyle H_{H}=H^{\gamma }+\zeta }$

Так как высота в нормальном поле практически совпадает с геодезической, это выражение справедливо и для связи геодезической и нормальной высот

${\displaystyle H=H^{\gamma }+\zeta }$

Перенесём измеренную разность потенциалов в нормальное поле:

${\displaystyle W_{A}-W_{0}=-\int \limits _{(W_{0})}^{(W)}gdh=U'-U_{0}=-\int \limits _{(U_{0})}^{(U')}\gamma dh=-\gamma ^{m}H^{\gamma }}$

где точка с нормальным потенциалом ${\displaystyle U'}$не совпадает с точкой H на земной поверхности, а лежит с ней практически на одной нормали к эллипсоиду (см. рис. 1), ${\displaystyle \gamma ^{m}}$ — среднее интегральное значение нормальной силы тяжести на отрезке от ${\displaystyle U_{0}}$ до ${\displaystyle U'}$:

${\displaystyle \gamma ^{m}={1 \over H^{\gamma }}\int \limits _{(U_{0})}^{(U')}\gamma dH}$

что можно вычислить с любой степенью точности, в отличие от грубо известного ${\displaystyle g^{m}}$, где ${\displaystyle g^{m}}$ — среднее интегральное значение силы тяжести на отрезке силовой линии. Из условия выше имеем:

В простейшем случае ${\displaystyle \gamma ^{m}}$ можно определить по нормальному градиенту как ${\displaystyle \gamma }$ на половине ${\displaystyle H^{\gamma }}$, то есть[2]:

${\displaystyle \gamma _{0}-{\partial \gamma \over \partial H}{H^{\gamma } \over 2}}$