Эллипсоид вращения

Эллипсо́ид враще́ния (сферо́ид) — поверхность вращения в трёхмерном пространстве, образованная при вращении эллипса вокруг одной из его главных осей.

Сфера — нормальный сфероид

Вытянутый сфероид

Сплюснутый сфероид

Термин «сфероид» для обозначения двух вариантов эллипсоида вращения ввёл Архимед: «… мы полагаем следующее: если эллипс при сохранении неподвижной большей оси поворачивается, возвращаясь в исходное положение, то охватываемая им фигура будет называться вытянутым сфероидом (παραμακες σφαιροιδες). Если эллипс поворачивается при сохранении в неподвижности малой оси и возвращается назад, то охватываемая им фигура будет называться сплюснутым сфероидом (επιπλατυ σφαιροιδες).» [1]

Эллипсоид вращения является частным случаем эллипсоида, две из трёх полуосей которого имеют одинаковую длину

( $a_{x}=a_{y}=a$ ):

{\frac {x^{2}}{{a_{x}}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{{a_{y}}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}={\frac {\rho ^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1.

В частном случае, когда все три полуоси равны, исходный эллипс представляет собой окружность, а эллипсоид вращения вырождается в сферу.

Вытянутый эллипсоид вращения

Вытянутый эллипсоид вращения (вытянутый сфероид) можно также определить как геометрическое место точек пространства, для которых сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) постоянна.

Зеркало в виде вытянутого эллипсоида вращения обладает следующим свойством: лучи света, исходящие из одного из фокусов эллипсоида, после отражения соберутся в другом фокусе.

Сплюснутый эллипсоид вращения

Сплюснутый эллипсоид вращения (сплюснутый сфероид) можно также определить как геометрическое место точек пространства, для которых сумма расстояний до ближайшей и до наиболее удалённой точки заданной окружности постоянна.

Основные формулы

Площадь поверхности:

2\pi a\left(a+{\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}\ln \left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b}}\right)\right)

, (для сплюснутого, a > b)

2\pi a\left(a+{\frac {b^{2}}{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}}\arcsin \left({\frac {\sqrt {b^{2}-a^{2}}}{b}}\right)\right)

, (для вытянутого, a < b)

Объём:

{\frac {4}{3}}\pi a^{2}b

Здесь $o\!\varepsilon$ — угловой эксцентриситет:

o\!\varepsilon =\arccos \left({\frac {b}{a}}\right)=2\arctan \left({\sqrt {\frac {a-b}{a+b}}}\right)\quad \mathrm {}

, (сплюснутый)

=\arccos \left({\frac {a}{b}}\right)=2\arctan \left({\sqrt {\frac {b-a}{b+a}}}\right)\quad \mathrm {}

, (вытянутый)

(sin(oε) часто выражается как эксцентриситет, «e»)

Примеры

Форма Земли — с хорошим приближением представляет собой сплюснутый эллипсоид вращения с ${{\frac {a}{b}}\approx {\frac {301}{299}}}$ .

Применение

Свойство вытянутого эллипсоида вращения отражать лучи, направленные в один из фокусов, в другой фокус, используется в телескопах системы Грегори и в антеннах Грегори.

Слева — радиотелескоп РТ-70, исполненный по системе антенны Грегори.
Справа — оптическая схема телескопа Грегори; малое зеркало имеет форму вытянутого эллипсоида вращения

Примечания

L. Russo. The forgotten revolution (неопр.). — Springer, Berlin, 2004. — С. 180.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] L. Russo. The forgotten revolution (неопр.). — Springer, Berlin, 2004. — С. 180.