Нильпотентный идеал

Нильпотентный идеал — идеал ${\displaystyle I}$ кольца ${\displaystyle R}$, для которого существует натуральное число ${\displaystyle k}$, такое, что ${\displaystyle I^{k}=0}$[1] (${\displaystyle I^{k}}$ — аддитивная подгруппа, порождённая множеством всех произведений из ${\displaystyle k}$ элементов идеала ${\displaystyle I}$, то есть идеал нильпотентен тогда и только тогда, когда существует натуральное число ${\displaystyle k}$, такое, что произведение любых ${\displaystyle k}$ элементов идеала ${\displaystyle I}$ равно 0. Наибольший интерес понятие нильпотентного идеала представляет для случая некоммутативных колец.

В кольце ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p^{n}}}$ вычетов по модулю ${\displaystyle p^{n}}$, где ${\displaystyle p}$ — некоторое простое число, все идеалы, отличные от самого кольца, нильпотентны. В кольце верхнетреугольных матриц над некоторым полем матрицы, у которых на главной диагонали стоят нули, образуют нильпотентный идеал.

Любой элемент нильпотентного идеала нильпотентен. В коммутативном кольце любой нильпотентный элемент содержится в некотором нильпотентном идеале, например, в главном идеале, порожденном этим элементом. В некоммутативном кольце могут существовать нильпотентные элементы, не содержащиеся ни в одном нильпотентном идеале (и даже ниль-идеале).

В конечномерной алгебре Ли ${\displaystyle g}$ существует максимальный нильпотентный идеал, состоящий из элементов ${\displaystyle x\in g}$, для которых эндоморфизм ${\displaystyle y\to [x,y]}$ для ${\displaystyle y\in g}$ нильпотентен.