Теорема Левицкого

Ниже приведена аргументация Утуми (как изложена в статье Лама[6])

Лемма[7]

Предположим, что R удовлетворяет условию обрыва возрастающей цепи на аннуляторах формы ${\displaystyle \{r\in R\mid ar=0\}}$, где a принадлежит R. Тогда

1. Любой односторонний ниль-идеал содержится в нижнем нильрадикале ${\displaystyle \mathrm {Nil} _{*}(R)}$;
2. Любой ненулевой правый нильидеал содержит ненулевой нильпотентный правый идеал.
3. Любой ненулевой левый нильидеал содержит ненулевой нильпотентный левый идеал.

Теорема Левицкого[8]

Пусть R будет правым нётеровым кольцом. Тогда любой односторонний нильидеал R нильпотентен. В этом случае верхний и нижний нильрадикалы равны и кроме того, этот идеал является наибольшим нильпотентным идеалом среди нильпотентных правых идеалов и среди нильпотентных левых идеалов.

Доказательство: Вследствие леммы выше достаточно показать, что нижний нильрадикал R нильпотентен. Поскольку R является правым нётеровым кольцом, максимальный нильпотентный идеал N существует. Из максимальности N следует, что факторкольцо R/N не имеет ненулевых нильпотентных идеалов, так что R/N является полупростым кольцом. Как результат, N содержит нижний нильрадикал кольца R. Поскольку нижний нильрадикал содержит все нильпотентные идеалы, он содержит и N, а тогда N равен нижнему нильрадикалу.

• Нильпотентный идеал
• Гипотеза Кёте
• Радикал Джекобсона