Гипотеза Кёте

Гипотеза Кёте — проблема в теории колец, остающаяся открытой с 2022 года. Гипотеза может формулироваться различными способами. Пусть R — кольцо. Один из способов формулировки гипотезы — если не имеет ниль-идеала, отличного от , то оно не имеет одностороннего ниль-идеала, отличного от .

Вопрос поставил в 1930 году Готтфрид Кёте (1905–1989). Было показано, что гипотеза Кёте верна для различных классов колец, таких как кольца с полиномиальным тождеством[1] и правые нётеровы кольца[2], но общее утверждение остаётся недоказанным.

Эквивалентные формулировки

Гипотеза имеет несколько различных формулировок[3][4][5]:

  1. В любом кольце сумма двух левых ниль-идеалов является ниль-идеалом.
  2. В любом кольце сумма двух односторонних ниль-идеалов является ниль-идеалом.
  3. В любом кольце любой левый или правый ниль-идеал кольца содержится в верхнем ниль-радикале кольца.
  4. Для любого кольца R и любого ниль-идеала J кольца R матричный идеал является ниль-идеалом для любого n.
  5. Для любого кольца R и любого ниль-идеала J кольца R матричный идеал является ниль-идеалом .
  6. Для любого кольца R верхний ниль-радикал является набором матриц с элементами из верхнего ниль-радикала кольца R для любого положительного целого n.
  7. Для любого кольца R и любого ниль-идеала J кольца R многочлены с переменной x и коэффициентами из J лежат в радикале Джекобсона полиномиального кольца R[x].
  8. Для любого кольца R радикал Джекобсона R[x] состоит из многочленов с коэффициентами из верхнего ниль-радикала кольца R.

Связанные проблемы

Гипотеза Амитсура гласит: «Если J является ниль-идеалом в R, то J[x] является ниль-идеалом в полиномиальном кольце R[x]»[6]. Если эта гипотеза верна, то она могла бы доказать гипотезу Кёте посредством эквивалентых утверждений выше, однако Агата Смоктунович предоставила контрпример[7]. Хотя это не опровергает гипотезу Кёте, возникает подозрение, что гипотеза Кёте может оказаться неверной[4].

В статье Кегеля[8] было доказано, что кольцо, являющееся прямой суммой двух нильпотентных подколец, само нильпотентно. Возникает вопрос, можно ли заменить здесь «нильпотентных» на «локально нильпотентных» или «ниль-колец». Частичный прогресс был, когда Келарев[9] привёл пример кольца, не являющегося ниль-кольцом, но являющегося суммой двух локально нильпотентных колец. Это показывает, что вопрос Кегеля о замене на «локально нильпотентных» имеет отрицательный ответ.

Сумма нильпотентного подкольца и ниль-подкольца всегда является ниль-кольцом[10].

Примечания
  1. McConnell, Robson, 2001, с. 484.
  2. Lam, 2001, с. 164.
  3. Krempa, 1972, с. 121-130.
  4. Lam, 2001, с. 171.
  5. Lam, 2003, с. 160.
  6. Amitsur, 1973, с. 47–65.
  7. Smoktunowicz, 2000, с. 427–436.
  8. Kegel, 1964, с. 103-9.
  9. Kelarev, 1993, с. 431–435.
  10. Ferrero, Puczylowski, 1989, с. 4–10.

Литература
  • John C. McConnell, James Christopher Robson, Lance W. Small. Noncommutative Noetherian rings. — 2001. — Т. 30. — (Grasuate studies in mathematics). — ISBN 0-8218-2169-5.
  • Gottfried Köthe. Die Struktur der Ringe, deren Restklassenring nach dem Radikal vollständig reduzibel ist // Mathematische Zeitschrift. — 1930. — Т. 32, вып. 1. — С. 161–186. — doi:10.1007/BF01194626.
  • Krempa J. Logical connections between some open problems concerning nil rings // Fundamenta Mathematicae. — 1972. — Т. 76, № 2.
  • Tsit Yuen Lam. Exercises in Classical Ring Theory. — Springer Science+Business Media, LLC, 2003. — (Problem Books in Mathematics). — ISBN 978-1-4757-3989-3.
  • Amitsur S. A. =Nil radicals. Historical notes and some new results. Rings, modules and radicals (Proc. Internat. Colloq., Keszthely 1971) // Colloq. Math. Soc. János Bolyai. — Amsterdam: North-Holland, 1973. — Т. 6.
  • Agata Smoktunowicz. Polynomial rings over nil rings need not be nil // J. Algebra. — 2000. — Т. 233, № 2.
  • Tsit Yuen Lam. A First Course in Noncommutative Rings. — Springer-Verlag, 2001. — Т. 131. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-97523-3. — ISBN 0-540-97523-3.
  • Kelarev A. V. A sum of two locally nilpotent rings may not be nil // Archiv der Mathematik. — 1993. — Вып. 60.
  • Ferrero M., Puczylowski E. R. On rings which are sums of two subrings // Archiv der Mathematik. — 1989. — Вып. 53.
  • Otto H. Kegel. On Rings that Are Sums of Two Subrings // JOURNAL of ALGEBRA. — 1964. — Вып. 1.

Ссылка
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.