Нильмногообразие

Компактное нильмногообразие — это нильмногообразие, являющееся компактным. Одним из способов построения таких пространств является рассмотрение односвязной нильпотентной группы Ли N и дискретной подгруппы ${\displaystyle \Gamma }$. Если подгруппа ${\displaystyle \Gamma }$ действует кокомпактно (посредством правого умножения) на N, то фактормногообразие ${\displaystyle N/\Gamma }$ будет компактным нильмногообразием. Как показал Мальцев, любое компактное нильмногообразие получается таким способом[7].

Такая подгруппа ${\displaystyle \Gamma }$ как выше называется решёткой в N. Нильпотентная группа Ли допускает решётку только тогда, когда её алгебра Ли допускает базис с рациональными структурными константами — это критерий Мальцева. Не все нильпотентные группы Ли допускают решётки. Для деталей см. статью М. С. Раунатана[8].

Компактное риманово нильмногообразие — это компактное риманово многообразие, которое локально изометрично нильпотентной группе Ли левоинвариантной метрикой. Эти пространства строятся следующим образом. Пусть ${\displaystyle \Gamma }$ будет решёткой в односвязной нильпотентной группе Ли N как выше. Снабдим N левоинвариантной (римановой) метрикой. Тогда подгруппа ${\displaystyle \Gamma }$ действует посредством изометрий на N через левое умножение. Тогда факторпространство ${\displaystyle \Gamma \backslash N}$ является компактным пространством, локально изометричным N. Заметим, что это пространство естественным образом диффеоморфно ${\displaystyle N/\Gamma }$.

Компактные нильмногообразия также возникают как главное расслоение. Например, рассмотрим 2-ступенную нильпотентную группу Ли N, которая допускает решётку (см. выше). Пусть ${\displaystyle Z=[N,N]}$ будет коммутатором подгруппы N. Обозначим через p размерность коммутатора Z и через q коразмерность Z, то есть размерность N равна p+q. Известно (см. статью Raghunathan), что ${\displaystyle Z\cap \Gamma }$ является решёткой в Z. Следовательно, ${\displaystyle G=Z/(Z\cap \Gamma )}$ является p-мерным компактным тором. Поскольку Z является центральным в N, группа G действует на компактное нильмногообразие ${\displaystyle P=N/\Gamma }$ с факторпространсвом ${\displaystyle M=P/G}$. Это базовое многообразие M является q-мерным компактным тором. Было показано, что любой главный пучок торов над тором имеет этот вид, см статью Полайса и Стьюарта[9]. Более общо, компактное нильмногообразие является пучком торов над пучком торов над пучком торов ... над тором.

Как было упомянуто выше, почти плоские многообразия являются, по существу, компактными нильмногообразиями. См. соответствующую статью для большей информации.

Исторически, комплексное нильмногообразие означает факторгруппу комплексной нильпотентной группы Ли по кокомпактной решётке. Примером такого нильмногообразия является многообразием Ивасавы. С 1980-х годов другое (более общее) понятие комплексного нильмногообразия постепенно вытеснило это понятие.

Почти комплексная структура на вещественной алгебре Ли g — это эндоморфизм ${\displaystyle I\colon \;g\rightarrow g}$, квадрат которого равен −Id_g. Этот оператор называется комплексной структурой, если его собственные пространства, соответствующие собственным значениям ${\displaystyle \pm {\sqrt {-1}}}$, являются подалгебрами в ${\displaystyle g\otimes {\mathbb {C} }}$. В этом случае I определяет левоинвариантную комплексную структуру на соответствующей группе Ли. Такое многообразие (G,I) называется многообразием комплексной группы. Таким образом, любое связное комплексное однородное многообразие, снабжённое свободным транзитивным голоморфным действием на вещественную группу Ли, получается таким способом.

Пусть G будет вещественной нильпотентной группой Ли. Комплексное нильмногообразие является фактором многообразия комплексной группы (G,I), снабжённой левоинвариантной комплексной структурой, по дискретной кокомпактной решётке, действующей справа.

Комплексные нильмногообразия обычно не являются однородными как комплексные многообразия.

В комплексной размерности 2 единственными комплексными нильмногообразиями являются комплексный тор и Поверхность Кодайры[10].

Компактные нильмногообразия (за исключением тора) никогда не формальны[11][12]. Из этого немедленно следует, что компактные нильмногообразия (за исключением тора) не допускают Кэлерову структуру (см. также статью Бенсона и Гордона[13]).

Топологически все нильмногообразия могут быть получены как итерированные пучки торов над тором. Это легко видеть из убывающего центрального ряда[14].

• Инфранильмногообразие
• Солвмногообразие. Параллельное построение на основе разрешимой группы Ли даёт класс пространств, называемых солвмногообразиями (или разрешимыми многообразиями). Важным примером разрешимых многообразий являются поверхности Иноуэ, известные в комплексной геометрии.