Поверхность Иноуэ

Пусть ${\displaystyle \phi }$ будет целочисленной 3 × 3 матрицей с двумя комплексными собственными значениями ${\displaystyle \alpha ,{\bar {\alpha }}}$ и вещественным собственным значением c>1, при этом ${\displaystyle |\alpha |^{2}c=1}$. Тогда ${\displaystyle \phi }$ обратима в целых числах и определяет действие группы ${\displaystyle {\mathbb {Z} }}$ целых чисел на ${\displaystyle {\mathbb {Z} }^{3}}$. Пусть ${\displaystyle \Gamma$ :={\mathbb {Z} }^{3}\rtimes {\mathbb {Z} }} . Эта группа является решёткой в разрешимой группе Ли

${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}\rtimes {\mathbb {R} }=({\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} })\rtimes {\mathbb {R} }}$,

действующей на ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }}$, при этом группа действует на ${\displaystyle ({\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} })}$-часть путём переносов, а на ${\displaystyle \rtimes {\mathbb {R} }}$-часть как ${\displaystyle (z,r)\mapsto (\alpha ^{t}z,c^{t}r)}$.

Мы расширяем это действие на ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times H={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }^{>0}}$, положив ${\displaystyle v\mapsto e^{\log ct}v}$, где t — параметр ${\displaystyle \rtimes {\mathbb {R} }}$-части группы ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}\rtimes {\mathbb {R} }}$. Действие тривиально на факторе ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ по ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{>0}}$. Это действие заведомо голоморфно и фактор ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times H/\Gamma }$ называется поверхностью Иноуэ типа S⁰.

Поверхность Иноуэ S⁰ определяется выбором целочисленной матрицы ${\displaystyle \phi }$, с вышеуказанными ограничениями. Существует счётное количество таких поверхностей.

Пусть n — положительное целое число, а ${\displaystyle \Lambda _{n}}$ — группа верхних треугольных матриц

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&x&{\frac {z}{n}}\\0&1&y\\0&0&1\end{bmatrix}},}$,

где x, y, z — целые числа. Рассмотрим автоморфизм ${\displaystyle \Lambda _{n}}$, который обозначим ${\displaystyle \phi }$. Фактор группы ${\displaystyle \Lambda _{n}}$ по её центру C — это ${\displaystyle {\mathbb {Z} }^{2}}$. Предположим, что ${\displaystyle \phi }$ действует на ${\displaystyle \Lambda _{n}/C={\mathbb {Z} }^{2}}$ как матрица с двумя положительными вещественными собственными значениями a, b, при этом ab = 1.

Рассмотрим разрешимую группу ${\displaystyle \Gamma _{n}:=\Lambda _{n}\rtimes {\mathbb {Z} }}$, с ${\displaystyle {\mathbb {Z} }}$, действующей на ${\displaystyle \Lambda _{n}}$, как ${\displaystyle \phi }$. Отождествляя группу верхних треугольных матриц с ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$, мы получим действие ${\displaystyle \Gamma _{n}}$ на ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }}$. Определим действие ${\displaystyle \Gamma _{n}}$ на ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times H={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }^{>0}}$ с ${\displaystyle \Lambda _{n}}$ действующим тривиально на ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{>0}}$-часть и ${\displaystyle {\mathbb {Z} }}$ действует как ${\displaystyle v\mapsto e^{t\log b}v}$. Те же аргументы, что и для поверхностей Иноуэ типа ${\displaystyle S^{0}}$, показывают, что это действие голоморфно. Фактор ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times H/\Gamma _{n}}$называется поверхностью Иноуэ типа ${\displaystyle S^{+}}$.

Поверхности Иноуэ типа ${\displaystyle S^{-}}$ определяются тем же способом, что и S⁺, однако два собственных значения a, b автоморфизма ${\displaystyle \phi }$, действующего на ${\displaystyle {\mathbb {Z} }^{2}}$, имеют противоположные знаки и выполняется равенство ab = −1. Поскольку квадрат такого эндоморфизма определяет поверхность Иноуэ типа S⁺, поверхность Иноуэ типа S⁻ имеет неразветвлённое двойное покрытие типа S⁺.