Гиперэллиптическая поверхность
Гиперэллиптическая или биэллиптическая поверхность — это поверхность, морфизм Альбанезе которой является эллиптическим расслоением. Любая такая поверхность может быть записана как факторгруппа произведения двух эллиптических кривых по конечной абелевой группе. Гиперэллиптические поверхности образуют один из классов с размерностью Кодаиры 0 в классификации Энриквеса — Кодаиры.
Инварианты
Размерность Кодаиры равна 0.
Ромб Ходжа:
| 1 | ||||
| 1 | 1 | |||
| 0 | 2 | 0 | ||
| 1 | 1 | |||
| 1 |
Классификация
Любая гиперэллипическая поверхность является фактором , где , F — эллиптические кривые, а G — подгруппа группы F (действующая на F переносами). Существует семь семейств гиперэллиптических поверхностей.
| Порядок K | G | Действие G на E | |
|---|---|---|---|
| 2 | Любая | ||
| 2 | Любая | ||
| 3 | |||
| 3 | |||
| 4 | |||
| 4 | |||
| 6 |
Здесь — первообразный кубический корень из 1, а i — примитивный корень 4-ой степени из 1.
Квазигигиперэллиптические пространства
Квазигигиперэллиптическое пространство — это поверхность, канонический дивизор которого численно эквивалентен нулю, отображение Альбанезе отображает в эллиптическую кривую, а все его слои являются рациональными кривыми с каспами. Они существуют только в характеристиках 2 или 3. Их второе число Бетти равно 2, второе число Чженя равно нулю, как и голоморфная эйлерова характеристика. Классификацию провели Бомбиери и Мамфорд[1], которые нашли шесть случаев в характеристике 3 (в этом случае 6K= 0) и восемь случаев в характеристике 2 (в этом случае равно нулю 6K или 4K). Любая квазиэллиптическая поверхность является фактором , где E — рациональная кривая с одним каспом, F является эллиптической кривой, а G является конечной групповой подсхемой группы F (действующей на F переносами).
Примечания
Литература
- Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris A.M. Peters, Antonius Van de Ven. Compact Complex Surfaces. — Springer-Verlag, Berlin, 2004. — Т. 4. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge.). — ISBN 978-3-540-00832-3.
- Arnaud Beauville. Complex algebraic surfaces. — 2nd. — Cambridge University Press, 1996. — Т. 34. — (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 978-0-521-49510-3.
- Enriques' classification of surfaces in char. p. III. // Inventiones Mathematicae. — 1976. — Т. 35. — С. 197–232. — ISSN 0020-9910. — doi:10.1007/BF01390138.
- Complex analysis and algebraic geometry. — Tokyo, 1977. — С. 23–42.