Почти плоское многообразие

Почти плоское многообразие — гладкое компактное многообразие М такое, что для любого $\varepsilon >0$ на М существует риманова метрика $g_{\varepsilon }$ , такая, что ${\mbox{diam}}(M,g_{\varepsilon })\leqslant 1$ и $g_{\varepsilon }$ является $\varepsilon$ -плоской, то есть её секционные кривизны $K_{g_{\varepsilon }}$ в каждой точке удовлетворяют неравенству

|K_{g_{\epsilon }}|<\varepsilon .

Примеры

Любое компактное многообразие, допускающее плоскую метрику, является почти плоским. В частности, почти плоскими многообразиями являются
- $n$ -мерный тор
- Бутылка Клейна
Примером не плоского, но почти плоского многообразия является пространство нетривиального расслоения со слоем окружность над тором. Это пространство можно получить как фактор группы Гейзенберга по её целочисленной подгруппе и его конечные накрытия.

Свойства

Для любого n существует положительное число $\varepsilon _{n}>0$ такое, что если n-мерное многообразие допускает $\varepsilon _{n}$ -плоские метрики с диаметром $\leqslant 1$ , то онo почти плоскоe.
Почти плоское многообразие как многообразие, коллапсирующее к точке с зажатой кривизной: М — почти плоское, если для любого $\varepsilon >0$ на М существует риманова метрика $g_{\varepsilon }$ , такая, что диаметр многообразия меньше $\varepsilon$ , и $g_{\varepsilon }$ имеет ограниченную секционную кривизну, скажем, в каждой точке удовлетворяют неравенству $|K_{g_{\epsilon }}|<1$ .
По теореме Громова — Руха, многообразие М является почти плоским тогда и только тогда, когда оно является инфранильмногообразием. В частности, оно является конечным фактором нильмногообразия. Последнее можно определить индуктивно как пространство главного расслоения со слоем окружность над нильмногообразием.

Литература

Gromov, M. (1978), Almost flat manifolds, Journal of Differential Geometry Т. 13 (2): 231–241, <http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.jdg/1214434488>.
Ruh, Ernst A. (1982), Almost flat manifolds, Journal of Differential Geometry Т. 17 (1): 1–14, <http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.jdg/1214436698>.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.