Неявная поверхность

Точка поверхности ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ называется регулярной тогда и только тогда, когда градиент функции ${\displaystyle F}$ в точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ не равен нулевому вектору ${\displaystyle (0,0,0)}$, что означает

${\displaystyle (F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}))\neq (0,0,0)}$.

Если точка поверхности ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ не регулярна, она называется особой (употребляется также термин сингулярная точка).

Уравнение касательной плоскости в регулярной точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

${\displaystyle F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0,}$

а уравнение нормального вектора

${\displaystyle \mathbf {n} (x_{0},y_{0},z_{0})=(F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}))^{T}.}$

Чтобы сделать формулы проще, аргументы ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ в формуле ниже опущены. Тогда

${\displaystyle \kappa _{n}={\frac {\mathbf {v} ^{\top }H_{F}\mathbf {v} }{\|\operatorname {grad} F\|}}}$

является нормальной кривизной поверхности в регулярной точке для единичного касательного вектора направления ${\displaystyle \mathbf {v} }$. ${\displaystyle H_{F}}$ является гессианом функции ${\displaystyle F}$ (матрицей вторых производных).

Доказательство этой формулы опирается (как и в случае неявной кривой) на теорему о неявной функции и формулу нормальной кривизны параметрической поверхности.

Точечный заряд ${\displaystyle q_{i}}$ в точке ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})}$ образует потенциал в точке ${\displaystyle \mathbf {p} =(x,y,z)}$ (физические константы опущены)

${\displaystyle F_{i}(x,y,z)={\frac {q_{i}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{i}\|}}.}$

Эквипотенциальная поверхность для значения потенциала ${\displaystyle c}$ является неявной поверхностью ${\displaystyle F_{i}(x,y,z)-c=0}$, что есть сфера с центром в точке ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$.

Потенциал четырёх точечных зарядов вычисляется пo формуле

${\displaystyle F(x,y,z)={\frac {q_{1}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1}\|}}+{\frac {q_{2}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{2}\|}}+{\frac {q_{3}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{3}\|}}+{\frac {q_{4}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{4}\|}}.}$

На рисунке четыре заряда имеют величину 1 и расположены в точках ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0)}$. Показанная поверхность является эквипотенциальной поверхностью (неявной поверхностью) ${\displaystyle F(x,y,z)-2{,}8=0}$.

Овал Кассини можно определить как множество точек, для которых произведение расстояний от двух заданных точек постоянно (в отличие от эллипса, для которого постоянна сумма расстояний). Аналогично неявные поверхности могут быть определены как постоянное произведение расстояний от некоторых фиксированных точек.

На рисунке метаморфоз верхняя левая поверхность образуется по такому правилу. Эта поверхность является поверхностью уровня функции ${\displaystyle F(x,y,z)-1{,}1=0}$, где

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x,y,z)={}&{\Big (}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\cdot {\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\&\qquad \cdot {\sqrt {x^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}}}\cdot {\sqrt {x^{2}+(y+1)^{2}+z^{2}}}{\Big )}\end{aligned}}}$

Метаморфоз двух неявных поверхностей (преобразование из одной поверхности в другую) — тора и поверхности постоянного произведения расстояний.

Другой простой метод создания новых неявных поверхностей называется метаморфозом неявных поверхностей:

Для двух неявных поверхностей ${\displaystyle F_{1}(x,y,z)=0,F_{2}(x,y,z)=0}$ (на рисунке это поверхность постоянного произведения расстояний и тор) определяются новые поверхности с использованием параметра ${\displaystyle \mu \in [0,1]}$:

${\displaystyle F(x,y,z)=\mu F_{1}(x,y,z)+(1-\mu )F_{2}(x,y,z)=0}$

На рисунке представлены поверхности с величинами параметра ${\displaystyle \mu =0,\,0{,}33,\,0{,}66,\,1}$ .

Аппроксимация трёх торов (параллельная проекция)

Изображение POV-Ray (центральная проекция) приближения трёх торов.

${\displaystyle \Pi }$-поверхности[1] могут быть использованы для аппроксимирования любого гладкого и ограниченного объекта в ${\displaystyle R^{3}}$, поверхность которого определяется многочленом, который равен произведению других многочленов. Другими словами, мы можем создать любой гладкий объект с единой алгебраической поверхностью. Обозначим многочлены как ${\displaystyle f_{i}\in \mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}](i=1,\ldots ,k)}$. Тогда аппроксимирующий объект определяется многочленом

${\displaystyle F(x,y,z)=\prod _{i}f_{i}(x,y,z)-r}$[1]

где ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$ определяет смешивающий параметр, контролирующий ошибку аппроксимации.

Аналогично гладкой аппроксимации неявных кривых уравнение

${\displaystyle F(x,y,z)=F_{1}(x,y,z)\cdot F_{2}(x,y,z)\cdot F_{3}(x,y,z)-r=0}$

представляет для подходящих параметров ${\displaystyle c}$ гладкие аппроксимации трёх пересекающихся торов уравнениями

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0,\\[3pt]F_{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+z^{2})=0,\\[3pt]F_{3}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(y^{2}+z^{2})=0.\end{aligned}}}$

(На рисунке параметры равны ${\displaystyle R=1,\,a=0{,}2,\,r=0{,}01.}$)

POV-Ray[2] изображение: Метаморфозы между сферой и поверхностью постоянного произведения расстояний (от 6 точек).