Неравенство Чебышёва

• Пусть ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )}$ — пространство с мерой. Пусть также
  • ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$
  • ${\displaystyle \phi (x)\geqslant 0}$ — суммируемая на ${\displaystyle A}$ функция
  • ${\displaystyle c>0}$.

Тогда справедливо неравенство:

${\displaystyle \mu {\bigl (}\{x:x\in A,\phi (x)\geqslant c\}{\bigr )}\leqslant {\frac {1}{c}}\int \limits _{A}\phi (x)\mu (dx)}$.

• В более общем виде:

Если ${\displaystyle g}$ — неотрицательная вещественная измеримая функция, неубывающая на области определения ${\displaystyle \phi }$, то

${\displaystyle \mu {\bigl (}\{x\in A\,:\,\,\phi (x)\geqslant t\}{\bigr )}\leqslant {1 \over g(t)}\int _{A}g\circ \phi \,\mu (dx).}$

• В терминах пространства ${\displaystyle L_{p}}$:

Пусть ${\displaystyle \phi (x)\in L_{p}}$. Тогда ${\displaystyle \mu {\Bigl (}{\bigl \{}x\in A\,{\big |}\,|\phi (x)|>t{\bigr \}}{\Bigr )}\leqslant {\frac {\|\phi \|_{p}^{p}}{t^{p}}}.}$

Неравенство Чебышёва может быть получено, как следствие из неравенства Маркова.

Пусть случайная величина ${\displaystyle X\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ определена на вероятностном пространстве ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$, а её математическое ожидание ${\displaystyle \mu }$ и дисперсия ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ конечны. Тогда

${\displaystyle \mathbb {P} \left(|X-\mu |\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\sigma ^{2}}{a^{2}}}}$,

где ${\displaystyle a>0}$.

Если ${\displaystyle a=k\sigma }$, где ${\displaystyle \sigma }$ — стандартное отклонение и ${\displaystyle k>0}$, то получаем

${\displaystyle \mathbb {P} \left(|X-\mu |\geqslant k\sigma \right)\leqslant {\frac {1}{k^{2}}}}$.

В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на ${\displaystyle 2}$ стандартных отклонения, с вероятностью меньше ${\displaystyle 25\%}$. Отклоняется от среднего на ${\displaystyle 3}$ стандартных отклонения с вероятностью меньше ${\displaystyle 11.12\%}$. Иными словами, случайная величина укладывается в ${\displaystyle 2}$ стандартных отклонения с вероятностью ${\displaystyle 75\%}$ и в ${\displaystyle 3}$ стандартных отклонения с вероятностью ${\displaystyle 88.88\%}$

Для важнейшего случая одномодальных распределений неравенство Высочанского — Петунина существенно усиливает неравенство Чебышёва, включая в себя дробь 4/9. Таким образом, граница в ${\displaystyle 3}$ стандартных отклонения включает ${\displaystyle 95.06\%}$ значений случайной величины. В отличие от нормального распределения, где ${\displaystyle 3}$ стандартных отклонения включают ${\displaystyle 99.73\%}$ значений случайной величины.