Неравенство Маркова

Пусть неотрицательная случайная величина ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{+}}$ определена на вероятностном пространстве ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$, и её математическое ожидание ${\displaystyle \mathbb {E} X}$ конечно. Тогда

${\displaystyle \mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} X}{a}}}$,

где ${\displaystyle a>0}$.

1. Пусть ${\displaystyle X\geqslant 0}$ — неотрицательная случайная величина. Тогда, взяв ${\displaystyle a=2\mathbb {E} X}$, получаем

${\displaystyle \mathbb {P} (X\geqslant 2\mathbb {E} X)\leqslant {\frac {1}{2}}}$.

2. Пусть в среднем ученики опаздывают на 3 минуты, и нас интересует, какова вероятность того, что ученик опоздает на 15 и более минут. Чтобы получить грубую оценку сверху, можно воспользоваться неравенством Маркова:

${\displaystyle \mathbb {P} (|X|\geqslant 15)\leqslant {\frac {3}{15}}=0{,}2}$.

Пусть неотрицательная случайная величина ${\displaystyle X}$ имеет плотность распределения ${\displaystyle p(x)}$, тогда для ${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle \mathbb {E} X=\int _{0}^{\infty }xp(x)dx\geqslant \int _{a}^{\infty }xp(x)dx\geqslant \int _{a}^{\infty }ap(x)dx=a\mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)}$.

Если в неравенство подставить вместо случайной величины ${\displaystyle X}$ случайную величину ${\displaystyle (Y-\mathbb {E} Y)^{2}}$, то получим неравенство Чебышёва:

${\displaystyle \mathbb {P} (|Y-\mathbb {E} (Y)|\geq b)\leq {\frac {{\textrm {Var}}(Y)}{b^{2}}}.}$

И наоборот, представив неотрицательную случайную величину ${\displaystyle X}$ в виде квадрата другой случайной величины ${\displaystyle X=Y^{2}}$, такой что ${\displaystyle \mathbb {E} Y=0}$, из неравенства Чебышева для ${\displaystyle Y}$ получим неравенство Маркова для ${\displaystyle X}$. Распределение случайной величины ${\displaystyle Y}$ определяется так: ${\displaystyle \mathbb {P} (Y<-{\sqrt {a}})=\mathbb {P} (Y>{\sqrt {a}})=\mathbb {P} (X>a)/2}$, ${\displaystyle \mathbb {P} (Y=0)=\mathbb {P} (X=0)}$.

Если ${\displaystyle \phi (x)}$ произвольная положительная неубывающая функция, то

${\displaystyle \mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)=\mathbb {P} \left(\phi (X)\geqslant \phi (a)\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} \left[\phi (X)\right]}{\phi (a)}}}$.

В частности при ${\displaystyle \phi (x)=e^{xt}}$, для любых ${\displaystyle t\geqslant 0}$

${\displaystyle \mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} \left[e^{Xt}\right]}{e^{at}}}={\frac {M_{X}(t)}{e^{at}}}}$,

где ${\displaystyle M_{X}(t)}$ — производящая функция моментов. Минимизируя правую часть по ${\displaystyle t}$, получим неравенство Чернова.

Неравенство Чернова дает лучшую оценку, чем неравенство Чебышёва, а неравенство Чебышёва — лучшую, чем неравенство Маркова. Это неудивительно, поскольку неравенство Маркова предполагает знание только первого момента случайной величины ${\displaystyle X}$, Чебышёва — первого и второго, Чернова — всех моментов.

• Неравенство Чебышёва
• Марков, Андрей Андреевич (старший)

• Видеолекция о случайных величинах, неравенствах Маркова и Чебышёва