Лемма Фату

Это доказательство не зависит от теоремы Леви о монотонной сходимости. Однако здесь объясняется, как эта теорема может быть применена.

Лемма 1. Пусть ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ - пространство с мерой. Рассмотрим простую ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$- измеримую неотрицательную функцию ${\displaystyle s:\Omega \to {\mathbb {R} _{\geq 0}}}$. Для подмножества ${\displaystyle S\subseteq \Omega }$, определим

${\displaystyle \nu (S)=\int _{S}s\,d\mu }$.

Тогда ${\displaystyle \nu }$ - мера множества ${\displaystyle \Omega }$.

Следующее свойство является прямым следствием определения меры.

Лемма 2. Пусть ${\displaystyle \mu }$ - мера и ${\displaystyle S=\cup _{i=1}^{\infty }S_{i}}$, где

${\displaystyle S_{1}\subseteq \ldots \subseteq S_{i}\subseteq S_{i+1}\subseteq \ldots \subseteq S}$

неубывающая цепочка со всеми ${\displaystyle \mu }$-измеримыми множествами. Тогда:

${\displaystyle \mu (S)=\lim _{i}\mu (S_{i})}$.

Шаг 1. Докажем, что ${\displaystyle g_{n}=g_{n}(x)}$- ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$- измерима, для любого ${\displaystyle n\geq 1}$.

Действительно, поскольку борелевская ${\displaystyle \sigma }$- алгебра на ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ порождается замкнутыми интервалами ${\displaystyle \{[t,+\infty )\}_{-\infty \leq t\leq +\infty }}$, то достаточно показать, что ${\displaystyle g_{n}^{-1}([t,+\infty ))\in \Sigma }$, для любого ${\displaystyle t\in [-\infty ,+\infty )}$, где ${\displaystyle g_{n}^{-1}([t,+\infty ))}$ - прообраз.

Заметим, что:

${\displaystyle g_{n}(x)\geq t\quad \Leftrightarrow \quad {\Bigl (}\forall k\geq n\quad f_{k}(x)\geq t{\Bigr )}}$,

или, что то же самое:

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{n}^{-1}([t,+\infty ))&=\left\{x\in X\mid g_{n}(x)\geq t\right\}\\[3pt]&=\bigcap _{k}\left\{x\in X\mid f_{k}(x)\geq t\right\}\\[3pt]&=\bigcap _{k}f_{k}^{-1}([t,+\infty ))\end{aligned}}}$

Заметим, что что каждое множество правой части принадлежит ${\displaystyle \Sigma }$. Т.к. ${\displaystyle \Sigma }$, по определению, замкнуто относительно счетных пересечений, то левая часть также принадлежит ${\displaystyle \Sigma }$. Доказано, что ${\displaystyle g_{n}}$является ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$- измеримой.

Шаг 2. Теперь покажем, что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$- измерима.

Если использовать теорему о монотонной сходимости, то измеримость ${\displaystyle f}$ следует из замечания 3.

В качестве альтернативы, достаточно проверить, что ${\displaystyle f^{-1}([0,t])\in \Sigma }$, для любого ${\displaystyle t\in [0,+\infty ])}$. Поскольку последовательность ${\displaystyle \{g_{n}(x)\}}$ поточечно не убывает (замечание 3), аргументируя как на первом шаге, получаем:

${\displaystyle 0\leq f(x)\leq t\quad \Leftrightarrow \quad {\Bigl (}\forall n\quad 0\leq g_{n}(x)\leq t{\Bigr )}}$.

Измеримость ${\displaystyle g_{n}}$ и вышеупомянутая эквивалентность подразумевают, что

${\displaystyle f^{-1}([0,t])=\bigcap _{n}g_{n}^{-1}([0,t])\in \Sigma }$.

Далее можно доказывать двумя способами: используя теорему Леви о монотонной сходимости или не используя.

Шаг 3. Доказательство с использованием теоремы

По определению, ${\displaystyle g_{n}\leq f_{n}}$, последовательность ${\displaystyle \{g_{n}(x)\}}$ не убывает для любого ${\displaystyle x\in X}$. Следовательно

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{X}f\,d\mu &=\int _{X}\lim _{n}g_{n}\,d\mu \\&=\lim _{n}\int _{X}g_{n}\,d\mu \\&=\liminf _{n}\int _{X}g_{n}\,d\mu \\&\leq \liminf _{n}\int _{X}f_{n}\,d\mu ,\end{aligned}}}$

что и требуется доказать.

Шаг 3. Без использования теоремы

Определим ${\displaystyle {SF}(f)}$ множество простых ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$- измеримых функций ${\displaystyle s:X\to [0,\infty )}$ таких, что ${\displaystyle 0\leq s\leq f}$ на ${\displaystyle X}$.

Рассмотрим простую функцию ${\displaystyle s\in \operatorname {SF} (f)}$ и действительное число ${\displaystyle t\in (0,1)}$, определим:

${\displaystyle B_{k}^{s,t}=\{x\in X\mid t\cdot s(x)\leq g_{k}(x)\}\subseteq X.}$

Тогда

${\displaystyle B_{k}^{s,t}\subseteq B_{k+1}^{s,t}}$, и ${\displaystyle \textstyle X=\bigcup _{k}B_{k}^{s,t}}$.

Шаг 3a. Пусть:

${\displaystyle s=\sum _{i=1}^{m}c_{i}\cdot \mathbf {1} _{A_{i}}}$

для некоторого конечного набора попарно непересекающихся измеримых множеств ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{m}\in \Sigma }$ таких, что ${\displaystyle \textstyle X=\cup _{i=1}^{m}A_{i}}$; некоторых конечных действительных чисел ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{m}}$.

Тогда,

${\displaystyle B_{k}^{s,t}=\bigcup _{i=1}^{m}{\Bigl (}g_{k}^{-1}{\Bigl (}[t\cdot c_{i},+\infty ]{\Bigr )}\cap A_{i}{\Bigr )}}$.

Поскольку прообраз ${\displaystyle g_{k}^{-1}{\Bigl (}[t\cdot c_{i},+\infty ){\Bigr )}}$ борелевского множества ${\displaystyle [t\cdot c_{i},+\infty ]}$ измеримой функции ${\displaystyle g_{k}}$ является измеримой функцией, а ${\displaystyle \sigma }$- алгебра, по определению, замкнута относительно счетных пересечений и объединений, первое утверждение доказано.

Шаг 3b. Для доказательства второго утверждения отметим, что для каждого ${\displaystyle k}$ и любого ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle g_{k}(x)\leq g_{k+1}(x).}$

Шаг 3c. Для доказательства третьего утверждения покажем, что ${\displaystyle \textstyle X\subseteq \bigcup _{k}B_{k}^{s,t}}$.

Действительно, в противном случае ${\displaystyle \textstyle X\not \subseteq \bigcup _{k}B_{k}^{s,t}}$, тогда существует элемент

${\displaystyle x_{0}\in X\setminus \bigcup _{k}B_{k}^{s,t}=\bigcap _{k}(X\setminus B_{k}^{s,t})}$

такой, что ${\displaystyle g_{k}(x_{0})<t\cdot s(x_{0})}$ для любого ${\displaystyle k}$. Рассматривая предел при ${\displaystyle k\to \infty }$, получим

${\displaystyle f(x_{0})\leq t\cdot s(x_{0})<s(x_{0}).}$

Но по первоначальному предположению, ${\displaystyle s\leq f}$. Противоречие.

Шаг 4. Для любой простой ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$- измеримой неотрицательной функции ${\displaystyle s_{2}}$:

${\displaystyle \lim _{n}\int _{B_{n}^{s,t}}s_{2}\,d\mu =\int _{X}s_{2}\,d\mu .}$

Для доказательства, определим ${\displaystyle \textstyle \nu (S)=\int _{S}s_{2}\,d\mu }$.

По лемме 1, ${\displaystyle \nu (S)}$ измерима на ${\displaystyle \Omega }$.

По лемме 2:

${\displaystyle \lim _{n}\int _{B_{n}^{s,t}}s_{2}\,d\mu =\lim _{n}\nu (B_{n}^{s,t})=\nu (X)=\int _{X}s_{2}\,d\mu }$.

Шаг 5. Докажем теперь, что для каждого ${\displaystyle {\displaystyle s\in \operatorname {SF} (f)},}$

${\displaystyle \int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu }$.

Действительно, используя определение ${\displaystyle B_{k}^{s,t}}$, неотрицательность ${\displaystyle g_{k}}$и монотонность интеграла Лебега, имеем

${\displaystyle \forall k\geq 1\qquad \int _{B_{k}^{s,t}}t\cdot s\,d\mu \leq \int _{B_{k}^{s,t}}g_{k}\,d\mu \leq \int _{X}g_{k}\,d\mu .}$

В соответствии с шагом 4, при ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$ неравенство примет вид:

${\displaystyle t\int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu .}$

Переходя к пределу при ${\displaystyle t\uparrow 1}$, получим:

${\displaystyle \int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu ,}$

что и требовалось.

Шаг 6. Чтобы завершить доказательство, мы применяем определение интеграла Лебега к неравенству, установленному на шаге 5, учитывая, что ${\displaystyle g_{n}\leq f_{n}:}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{X}f\,d\mu &=\sup _{s\in \operatorname {SF} (f)}\int _{X}s\,d\mu \\&\leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu \\&=\liminf _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu \\&\leq \liminf _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu \end{aligned}}.}$

Доказательство закончено.

Применим лемму Фату к неотрицательной последовательности, заданной ${\displaystyle g-f_{n}.}$

Пусть ${\displaystyle f_{1},f_{2},...}$ - последовательность расширенных вещественнозначных измеримых функций, определенных на пространстве с мерой ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$. Если существует такая интегрируемая функция ${\displaystyle g}$ на ${\displaystyle S}$, что ${\displaystyle f_{n}\geq -g}$ для всех ${\displaystyle n}$, то

${\displaystyle {\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu .}}$

Доказательство

Применим лемму Фату к неотрицательной последовательности, заданной ${\displaystyle f_{n}+g}$

Если в предыдущем пункте последовательность ${\displaystyle f_{1},f_{2},...}$, сходится поточечно к функции ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$-почти всюду на ${\displaystyle S}$, то

${\displaystyle \int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.}$

Доказательство

Заметим, что значения подынтегрального выражения на множестве меры нуль не влияют на значение интеграла.

Последнее утверждение также справедливо, если последовательность ${\displaystyle f_{1},f_{2},...}$ сходится по мере к функции ${\displaystyle f}$.

Доказательство

Существует такая подпоследовательность, что

${\displaystyle {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{S}f_{n_{k}}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu .}}$

Так как эта подпоследовательность сходится по мере к ${\displaystyle f}$, то существует еще одна подпоследовательность, которая сходится поточечно к ${\displaystyle f}$ почти всюду, поэтому предыдущая вариация леммы Фату применима к этой подпоследовательности.

Во всех вышеприведенных формулировках леммы Фату интегрирование проводилось по одной фиксированной мере ${\displaystyle \mu }$. Предположим, что ${\displaystyle \mu _{n}}$ - последовательность мер на измеримом пространстве ${\displaystyle (S,\Sigma )}$ такая, что :

${\displaystyle \mu _{n}(E)\to \mu (E),~\forall E\in \Sigma .}$

Тогда, когда ${\displaystyle f_{n}}$ неотрицательные интегрируемые функции и ${\displaystyle f}$ является их поточечным пределом, мы имеем:

${\displaystyle \int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu _{n}.}$

Доказательство

Позволим ${\displaystyle f_{n}}$ сходиться ${\displaystyle \mu }$-почти всюду на подмножестве ${\displaystyle E}$ из ${\displaystyle S}$. Мы стремимся показать, что

${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu _{n}\,.}$

Пусть

${\displaystyle K=\{x\in E|f_{n}(x)\setminus f(x)\}.}$

Тогда ${\displaystyle \mu (E\setminus K)=0}$ и

${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\int _{E\setminus K}f\,d\mu ,~~~\int _{E}f_{n}\,d\mu =\int _{E\setminus K}f_{n}\,d\mu ~\forall n\in \mathbb {N} .}$

Таким образом, заменив ${\displaystyle E}$ на ${\displaystyle E\setminus K}$, мы можем считать, что ${\displaystyle f_{n}}$ поточечно сходится к ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle E}$. Далее заметим, что для любой простой функции ${\displaystyle \phi }$ имеем:

${\displaystyle \int _{E}\phi \,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{E}\phi \,d\mu _{n}.}$

Следовательно, по определению интеграла Лебега достаточно показать, что если ${\displaystyle \phi }$ - любая неотрицательная простая функция, меньшая или равная ${\displaystyle f}$, то

${\displaystyle \int _{E}\phi \,d\mu \leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu _{n}}$

Пусть ${\displaystyle a}$ - минимальное неотрицательное значение ${\displaystyle \phi }$. Определим

${\displaystyle A=\{x\in E|\phi (x)>a\}}$

Сначала рассмотрим случай, когда ${\displaystyle \int _{E}\phi \,d\mu =\infty .}$ Мы имеем, что ${\displaystyle \mu (A)}$ бесконечно, так как

${\displaystyle \int _{E}\phi \,d\mu \leq M\mu (A),}$

где ${\displaystyle M}$ - (обязательно конечное) максимальное значение ${\displaystyle \phi }$. Затем мы определим

${\displaystyle A_{n}=\{x\in E|f_{k}(x)>a~\forall k\geq n\}.}$

Мы имеем, что

${\displaystyle A\subseteq \bigcup _{n}A_{n}\Rightarrow \mu (\bigcup _{n}A_{n})=\infty .}$

Но ${\displaystyle A_{n}}$ является вложенной возрастающей последовательностью функций и, следовательно, по непрерывности снизу ${\displaystyle \mu }$,

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\mu (A_{n})=\infty .}$

Таким образом,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu _{n}(A_{n})=\mu (A_{n})=\infty .}$

В то же время,

${\displaystyle \int _{E}f_{n}\,d\mu _{n}\geq a\mu _{n}(A_{n})\Rightarrow \liminf _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu _{n}=\infty =\int _{E}\phi \,d\mu ,}$

мы доказали это требование в данном случае.

В оставшемся случае, когда ${\displaystyle \int _{E}\phi \,d\mu <\infty }$, ${\displaystyle \mu (A)}$ должно быть конечно. Обозначим, как и выше, через ${\displaystyle M}$ максимальное значение ${\displaystyle \phi }$ и зафиксируем ${\displaystyle \varepsilon >0.}$ Определим

${\displaystyle A_{n}=\{x\in E|f_{k}(x)>(1-\epsilon )\phi (x)~\forall k\geq n\}.}$

Тогда ${\displaystyle A_{n}}$ является вложенной возрастающей последовательностью множеств, объединение которых содержит ${\displaystyle A}$. Таким образом, ${\displaystyle A\setminus A_{n}}$ является убывающей последовательностью множеств с пустым пересечением. Так как ${\displaystyle A}$ имеет конечную меру (поэтому нам было нужно рассмотреть два отдельных случая):

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\mu (A\setminus A_{n})=0.}$

Таким образом, существует ${\displaystyle n}$ такое, что:

${\displaystyle \mu (A\setminus A_{k})<\epsilon ,~\forall k\geq n.}$

Так как:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu _{n}(A\setminus A_{k})=\mu (A\setminus A_{k}),}$

существует ${\displaystyle N}$ такое, что:

${\displaystyle \mu _{k}(A\setminus A_{k})<\epsilon ,~\forall k\geq N.}$

Следовательно, для ${\displaystyle k\geq N}$

${\displaystyle {\displaystyle \int _{E}f_{k}\,d\mu _{k}\geq \int _{A_{k}}f_{k}\,d\mu _{k}\geq (1-\epsilon )\int _{A_{k}}\phi \,d\mu _{k}.}}$

В то же время,

${\displaystyle \int _{E}\phi \,d\mu _{k}=\int _{A}\phi \,d\mu _{k}=\int _{A_{k}}\phi \,d\mu _{k}+\int _{A\setminus A_{k}}\phi \,d\mu _{k}.}$

Следовательно,

${\displaystyle (1-\epsilon )\int _{A_{k}}\phi \,d\mu _{k}\geq (1-\epsilon )\int _{E}\phi \,d\mu _{k}-\int _{A\setminus A_{k}}\phi \,d\mu _{k}.}$

Объединение этих неравенств дает

${\displaystyle \int _{E}f_{k}\,d\mu _{k}\geq (1-\epsilon )\int _{E}\phi \,d\mu _{k}-\int _{A\setminus A_{k}}\phi \,d\mu _{k}\geq \int _{E}\phi \,d\mu _{k}-\epsilon \left(\int _{E}\phi \,d\mu _{k}+M\right).}$

Следовательно, устремляя ${\displaystyle \varepsilon }$ в ${\displaystyle 0}$ и взяв предел inf в ${\displaystyle n}$, получаем, что

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu _{k}\geq \int _{E}\phi \,d\mu ,}$

лемма доказана.

Пусть ${\displaystyle X_{1},X_{2},...}$ - последовательность неотрицательных случайных величин из вероятностного пространства ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathrm {P} )}$ и пусть ${\displaystyle {\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \sigma }$-подалгебра.

Тогда ${\displaystyle \mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]}$ почти наверное.

Примечание: условное математическое ожидание неотрицательных случайных величин всегда строго определено, конечное математическое ожидание не требуется.

Помимо изменения обозначений, доказательство очень похоже на доказательство для стандартной версии леммы Фату, описанное выше, однако должна быть применена теорема о монотонной сходимости для условных математических ожиданий.

Обозначим через ${\displaystyle X}$ предел, уступающий ${\displaystyle X_{n}}$. Для каждого натурального числа ${\displaystyle k}$ определим точечную оценку случайной величины

${\displaystyle Y_{k}=\inf _{n\geq k}X_{n}.}$

Тогда последовательность ${\displaystyle Y_{1},Y_{2},...}$ возрастает и поточечно сходится к ${\displaystyle X.}$ Для ${\displaystyle k\leq n}$ имеем ${\displaystyle Y_{k}\leq X_{n}}$, тогда

${\displaystyle \mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]}$ почти наверное в силу монотонности условного математического ожидания, следовательно

${\displaystyle \mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]}$ почти наверное, потому что счетное объединение исключительных множеств нулевой вероятности является нулевым множеством. Используя определение ${\displaystyle X}$, его представление как поточечного предела ${\displaystyle Y_{k}}$, теорему о монотонной сходимости для условных ожиданий, последнее неравенство и определение нижнего предела, следует, что почти наверное

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}&=\mathbb {E} [X|{\mathcal {G}}]=\mathbb {E} {\Bigl [}\lim _{k\to \infty }Y_{k}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}=\lim _{k\to \infty }\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]=\liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}].\end{aligned}}}$

Пусть ${\displaystyle X_{1},X_{2},...}$ - последовательность неотрицательных случайных величин из вероятностного пространства ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathrm {P} )}$ и пусть ${\displaystyle {\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \sigma }$-подалгебра. Если отрицательные части

${\displaystyle X_{n}^{-}:=\max\{-X_{n},0\},\qquad n\in {\mathbb {N} },}$

равномерно интегрируемы относительно условного математического ожидания в том смысле, что при ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такое ${\displaystyle c>0}$, что

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon }$ для всех ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ почти наверное,

тогда

${\displaystyle \mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]}$ почти наверное.

Примечание: на множестве, где для

${\displaystyle X:=\liminf _{n\to \infty }X_{n}}$

выполнено:

${\displaystyle \mathbb {E} [\max\{X,0\}\,|\,{\mathcal {G}}]=\infty ,}$

левая часть неравенства равна плюс бесконечности. Условное математическое ожидание нижнего предела, возможно, может оказаться незаданным на этом нулевом множестве, поскольку условное ожидание отрицательной части также может быть плюс бесконечностью.

Путь ${\displaystyle \varepsilon >0.}$ Из-за равномерной интегрируемости по условному ожиданию существует такое ${\displaystyle c>0}$, что

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon ,}$ для всех ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ почти наверное.

Поскольку

${\displaystyle X+c\leq \liminf _{n\to \infty }(X_{n}+c)^{+},}$

где ${\displaystyle x^{+}:=max\{x,0\}}$ обозначает положительную часть вещественного ${\displaystyle x}$, используя монотонность условного математического ожидания и стандартную версию леммы Фату для условных математических ожиданий имеем

${\displaystyle \mathbb {E} [X\,|\,{\mathcal {G}}]+c\leq \mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }(X_{n}+c)^{+}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} [(X_{n}+c)^{+}\,|\,{\mathcal {G}}]}$ почти наверное.

Поскольку

${\displaystyle (X_{n}+c)^{+}=(X_{n}+c)+(X_{n}+c)^{-}\leq X_{n}+c+X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}},}$

мы имеем

${\displaystyle \mathbb {E} [(X_{n}+c)^{+}\,|\,{\mathcal {G}}]\leq \mathbb {E} [X_{n}\,|\,{\mathcal {G}}]+c+\varepsilon }$ почти наверное,

следовательно,

${\displaystyle \mathbb {E} [X\,|\,{\mathcal {G}}]\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} [X_{n}\,|\,{\mathcal {G}}]+\varepsilon }$ почти наверное.

Отсюда следует утверждение.