Теорема Леви о монотонной сходимости

Далее ${\displaystyle L_{1}(X,\mu )}$ обозначает пространство интегрируемых функций на пространстве с мерой ${\displaystyle (X,\mu )}$. Мера не предполагается конечной. Для всех интегралов далее областью интегрирования является всё пространство ${\displaystyle X}$.

Теорема Леви (о монотонном пределе интегрируемых функций). Пусть ${\displaystyle f_{n}\in L_{1}(X,\mu )}$ — монотонно неубывающая последовательность функций, интегрируемых на ${\displaystyle X}$, то есть

${\displaystyle f_{n}(x)\leqslant f_{n+1}(x)}$ для всех ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ и ${\displaystyle x\in X}$.

Если их интегралы ограничены в совокупности:

${\displaystyle \int f_{n}(x)d\mu \leqslant K}$,

Тогда:

1. почти всюду существует конечный предел ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x):=f(x)}$ (то есть функции ${\displaystyle f_{n}(x)}$ сходятся поточечно к некоторой функции ${\displaystyle f(x)}$ почти всюду на ${\displaystyle X}$);
2. предельная функция ${\displaystyle f(x)}$ интегрируема на ${\displaystyle X}$, то есть ${\displaystyle f\in L_{1}(X,\mu )}$;
3. функции ${\displaystyle f_{n}(x)}$ сходятся к функции ${\displaystyle f(x)}$ в среднем, то есть по норме пространства ${\displaystyle L_{1}(X,\mu )}$;
4. допустим предельный переход под знаком интеграла:

${\displaystyle \int f(x)d\mu =\lim \limits _{n\to \infty }\int f_{n}(x)d\mu }$.

Другая форма теоремы Леви относится к почленному интегрированию неотрицательных рядов:

Теорема Леви (о почленном интегрировании неотрицательных рядов). Пусть ${\displaystyle \varphi _{n}\in L_{1}(X,\mu )}$ — неотрицательные функции, интегрируемые на ${\displaystyle X}$. Если ограничены в совокупности интегралы от частичных сумм ряда

${\displaystyle \int \sum _{k=1}^{n}\varphi _{k}(x)d\mu \leqslant C}$,

тогда

1. ряд ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}(x)}$ сходится почти всюду к конечному значению;
2. сумма ряда ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}(x)}$ является интегрируемой функцией;
3. последовательность частичных сумм ряда сходится к его сумме по норме пространства ${\displaystyle L_{1}(X,\mu )}$;
4. допустимо почленное интегрирование функционального ряда:

${\displaystyle \int \sum _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}(x)d\mu =\sum _{k=1}^{\infty }\int \varphi _{k}(x)d\mu }$.

Первая и вторая форма теоремы переходят одна в другую при замене ${\displaystyle f_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}\varphi _{k}(x)}$, или ${\displaystyle \varphi _{n}(x)=f_{n}(x)-f_{n-1}(x)}$. Однако вторая форма допускает следующее расширение на интегрирование функциональных рядов, не обязательно знакопостоянных:

Теорема Леви (о почленном интегрировании функциональных рядов). Пусть ${\displaystyle \varphi _{n}\in L_{1}(X,\mu )}$ — функции, интегрируемые на ${\displaystyle X}$. Если сходится ряд

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\int |\varphi _{k}(x)|d\mu <\infty }$,

тогда

1. ряд ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}(x)}$ абсолютно сходится почти всюду к конечному значению;
2. сумма ряда ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}(x)}$ является интегрируемой функцией;
3. последовательность частичных сумм ряда сходится к его сумме по норме пространства ${\displaystyle L_{1}(X,\mu )}$;
4. допустимо почленное интегрирование функционального ряда:

${\displaystyle \int \sum _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}(x)d\mu =\sum _{k=1}^{\infty }\int \varphi _{k}(x)d\mu }$.

Чтобы получить теорему Леви в этой форме, нужно применить теорему Лебега о мажорированной сходимости, так как частичные суммы ряда допускают интегрируемую мажоранту:

${\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{n}\varphi _{k}(x)\right|\leqslant \sum _{k=1}^{\infty }|\varphi _{k}(x)|=\varphi (x)}$

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов ${\displaystyle \Omega }$, вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ — монотонная последовательность неотрицательных п.н. интегрируемых случайных величин. Тогда

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\lim \limits _{n\to \infty }X_{n}\right]=\lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {E} X_{n}}$.

• Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
• Лемма Фату

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.