Теорема Лебега о мажорируемой сходимости

Пусть фиксировано пространство с мерой ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$. Предположим, что ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ и ${\displaystyle f}$ — измеримые функции на ${\displaystyle X}$, причём ${\displaystyle f_{n}(x)\to f(x)}$ почти всюду. Тогда если существует определённая на том же пространстве интегрируемая функция ${\displaystyle g}$, такая что ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad |f_{n}(x)|\leqslant g(x)}$ почти всюду, то функции ${\displaystyle f_{n},\;f}$ интегрируемы и

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{X}f_{n}(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx).}$

Условие мажорированности последовательности ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ интегрируемой функцией ${\displaystyle g}$ принципиально и не может быть опущено, как показывает следующий контрпример. Пусть ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )=([0,\;1],\;{\mathcal {B}},\;m)}$, где ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ — борелевская ${\displaystyle \sigma }$-алгебра на ${\displaystyle [0,\;1]}$, а ${\displaystyle m}$ — мера Лебега на том же пространстве. Определим

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}n,&x\in \left[0,\;{\dfrac {1}{n}}\right);\\[10pt]0,&x\in \left[{\dfrac {1}{n}},\;1\right].\end{cases}}}$

Тогда последовательность ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ не может быть мажорирована интегрируемой функцией, и

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)\,m(dx)=0\neq 1=\lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{0}^{1}f_{n}(x)\,m(dx).}$

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов ${\displaystyle \Omega }$, вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть есть сходящаяся почти всюду последовательность случайных величин: ${\displaystyle X_{n}\to X}$ почти всюду. Пусть в дополнение существует интегрируемая случайная величина ${\displaystyle Y}$, такая что ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad |X_{n}|\leqslant Y}$ почти наверное. Тогда случайные величины ${\displaystyle X_{n},\;X}$ интегрируемы и

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {E} X_{n}=\mathbb {E} X.}$

• Теорема Фату — Лебега