Закон Дарси

Закон Дарси можно представить в виде уравнения баланса сил[7]:

${\displaystyle -\nabla P-{\frac {\eta }{K}}{\vec {u}}+\rho {\vec {f}}=0,}$

где ${\displaystyle {\vec {f}}}$ — поле внешних сил, ${\displaystyle \eta }$ — динамическая вязкость жидкости или газа, ${\displaystyle K=\eta k/\rho g}$ — коэффициент проницаемости. Коэффициент проницаемости характеризует способность пористой среды к пропусканию флюида.

Полная система уравнений фильтрации несжимаемой жидкости также включает условие несжимаемости:

${\displaystyle -\nabla P-{\frac {\eta }{K}}{\vec {u}}+\rho {\vec {f}}=0,}$

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {u}}=0.}$

Необходимым граничным условием для данной модели на твёрдых поверхностях является только условие непроницаемости.

При постоянном коэффициенте проницаемости поле скорости фильтрации имеет скалярный потенциал, что позволяет переписать систему уравнений фильтрации в форме уравнения Лапласа[6]:

${\displaystyle {\vec {u}}=-k\nabla h,\quad \Rightarrow \quad \exists \quad \Phi =kh,}$

где ${\displaystyle h}$ — напор.

Уравнение Лапласа с граничным условием вытекает из условия несжимаемости:

${\displaystyle \Delta \Phi =0,}$

${\displaystyle \left.{\frac {\partial \Phi }{\partial n}}\right|_{S}=\left.\left({\vec {n}}\cdot \nabla \Phi \right)\right|_{S}=0,}$

где ${\displaystyle {\vec {n}}}$ — вектор нормали к поверхности. Граничным условием на твёрдых поверхностях является условие равенства нулю нормальной компоненты градиента ${\displaystyle \Phi }$.

В принципе, во всех приведённых выше уравнениях поле массовых сил и градиента давления могут быть объединены, что сведётся к простой перенормировке давления.