Граф Хоффмана — Синглтона
Граф Хоффмана — Синглтона — 7-однородный неориентированный граф с 50 вершинами и 175 рёбрами. Граф является единственным сильно регулярным графом с параметрами [5]. Граф был построен Аланом Хоффманом и Робертом Синглтоном, когда они пытались классифицировать все графы Мура, и он является графом Мура с наибольшим порядком, для которого известно, что такой граф существует[6]. Поскольку граф является графом Мура, в котором каждая вершина имеет степень 7, а обхват графа равен 5, граф является клеткой .
граф Хоффмана – Синглтона | |
---|---|
Назван в честь |
Алан Хоффман Роберт Р. Синглтон |
Вершин | 50 |
Рёбер | 175 |
Радиус | 2 |
Диаметр | 2[1] |
Обхват | 5[1] |
Автоморфизмы |
252,000 (PSU(3,52):2) [2] |
Хроматическое число | 4 |
Хроматический индекс | 7 [3] |
Род | 29 [4] |
Свойства |
Сильно регулярный Симметричный Гамильтонов Целочисленный Клетка Граф Мура |
Медиафайлы на Викискладе |
Построение
Существует много путей построения графов Хоффмана — Синглтона.
Построение на основе пятиугольников и пентаграмм
Возьмём 5 пятиугольников и 5 пентаграмм так, что вершина пятиугольника смежна вершинам и пятиугольника и вершина пентаграммы смежна вершинам и пентаграммы . Свяжем вершину графа с вершиной графа . (Все индексы берутся по модулю 5.)
Построение из троек и плоскостей Фано
Возьмём плоскость Фано и рассмотрим переставки её 7 точек, чтобы получить 30 плоскостей Фано. Выберем одну из этих плоскостей. Имеется 14 других плоскостей Фано, имеющих в точности одну общую тройку («прямую») с выбранной плоскостью. Возьмём эти 15 плоскостей Фано и отбросим оставшиеся 15. Рассмотрим 7C3 = 35 троек из 7 чисел. Теперь соединим (ребром) тройку с плоскостями Фано, содержащими эту тройку, а также соединим непересекающиеся тройки друг с другом. Получившийся граф является графом Хоффмана — Синглтона, он состоит из 50 вершин, соответствующих 35 тройкам и 15 плоскостям Фано, и каждая вершина имеет степень 7. Вершины, соответствующие плоскостям Фано, соединены с 7 тройками по определению, поскольку плоскость Фано имеет 7 прямых. Каждая тройка связана с 3 различными плоскостями Фано, включающими её, и с 4 другими тройками, с которыми она не пересекается.
Алгебраические свойства
Группа автоморфизмов графа Хоффмана — Синглтона является группой порядка 252000 и изоморфна PΣU(3,52), полупрямому произведению проективной специальной унитарной группы и циклической группы порядка 2, сгенерировнной эндоморфизмом Фробениуса. Автоморфизм действует транзитивно на вершины и рёбра графа. Таким образом, граф Хоффмана — Синглтона является симметричным графом. Стабилизатор вершин графа изоморфен симметрической группе на 7 буквах. Стабилизатор множества рёбер изоморфен , где — знакопеременная группа на 6 буквах. Оба типа стабилизаторов являются максимальными подгруппами полной группы автоморфизмов графа Хоффмана — Синглтона.
Характеристический многочлен графа Хоффмана — Синглтона равен . Таким образом, граф Хоффмана — Синглтона является целочисленным — его спектр состоит полностью из целых чисел.
Подграфы
Используя только факт, что граф Хоффмана — Синглтона является строго регулярным с параметрами , можно показать, что в нём существует 1260 циклов длины 5.
Кроме того, граф Хоффмана — Синглтона содержит 525 копий графа Петерсена. Удаление одного из них даёт копию единственной -клетки[7].
Примечания
- Weisstein, Eric W. Hoffman-Singleton Graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Hafner, 2003, с. 7-12.
- Royle.
- Conder, Stokes, 2014.
- Brouwer.
- Hoffman, Singleton, 1960, с. 497–504.
- Wong, 1979, с. 407–409.
Литература
- P. R. Hafner. The Hoffman-Singleton Graph and Its Automorphisms // J. Algebraic Combin. — 2003. — Т. 18.
- G. Royle. Re: What is the Edge Chromatic Number of Hoffman-Singleton? . GRAPHNET@istserv.nodak.edu posting. (Sept. 28, 2004.). (недоступная ссылка)
- M.D.E. Conder, K. Stokes. Minimum genus embeddings of the Hoffman-Singleton graph // preprint. — 2014.
- C. T. Benson, N. E. Losey. On a graph of Hoffman and Singleton // Journal of Combinatorial Theory. Series B. — Т. 11, вып. 1. — С. 67–79. — ISSN 0095-8956. — doi:10.1016/0095-8956(71)90015-3.
- D.A. Holton, J. Sheehan. The Petersen graph. — Cambridge University Press, 1993. — С. 186, 190. — ISBN 0-521-43594-3..
- Andries E. Brouwer. Hoffman-Singleton graph .
- Alan J. Hoffman, Robert R. Singleton. Moore graphs with diameter 2 and 3 // IBM Journal of Research and Development. — 1960. — Т. 5, вып. 4. — С. 497–504. — doi:10.1147/rd.45.0497.
- Pak-Ken Wong. On the uniqueness of the smallest graph of girth 5 and valency 6 // Journal of Graph Theory. — 1979. — Т. 3. — С. 407–409. — doi:10.1002/jgt.3190030413.