Вербицкий, Михаил Сергеевич

Один из краеугольных камней геометрии кэлеровых многообразий — существование действия алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ на когомологиях компактного кэлерова многообразия (заданного оператором Лефшеца ${\displaystyle L\colon \alpha \mapsto \alpha \wedge \omega }$ умножения на кэлеров класс, его двойственным ${\displaystyle \Lambda =\star L\star ^{-1}}$ и их коммутатора, оператора Вейля). Вербицкий изучил алгебру, порождённую умножениями на кэлеровы классы трёх кэлеровых форм. Эта алгебра изоморфна ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4,1)}$ (результат получен в 1988 году, когда Вербицкому было 19 лет).[23] В более поздних работах им было найдено действие алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4,b_{2}(X)-2)}$.[24] С помощью этого действия Вербицкий доказал аналог глобальной теоремы Торелли для гиперкэлеровых многообразий[25] и гиперкэлеров случай зеркальной симметрии[26].

Один из ранних результатов Вербицкого, относящийся к трианалитическим многообразиям обобщённых куммеровых многообразий оказался ошибочным

Гиперкэлеровы многообразия имеют три комплексные структуры (всевозможные линейные комбинации задают семейство совместных с гиперкэлеровой метрикой комплексных структур, параметризуемое сферой Римана ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}}$). Подмногообразие, являющееся аналитическим в одной комплексной структуре, может быть вполне вещественным в другой (например, такова всякая кривая на K3-поверхности, простейшем гиперкэлеровом многообразии). Вербицкий изучил трианалитические подмногообразия, то есть подмногообразия, являющиеся аналитическими во всех комплексных структурах, совместных с гиперкэлеровой метрикой. Такие подмногообразия гораздо более жёстки, нежели комплексные подмногообразия: так, всякий росток трианалитического подмногообразия в двумерном кватернионном пространстве ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$ является областью в кватернионном линейном подпространстве (что является проявлением того элементарного факта, что всякая кватернионно голморфная функция является линейной).

Вербицкий приспособил обыкновенное в комплексной геометрии понятие голоморфного расслоения к гиперкомплексной геометрии: именно, эрмитово расслоение называется гиперголоморфным, если оно допускает связность, кривизна которой имеет ходжев тип (1,1) для любой совместной комплексной структуры. Неэрмитова версия этого понятия, изученная Вербицким совместно с Калединым, как ими было показано, в сущности эквивалентна голоморфной структуре на поднятии этого расслоения на твисторное пространство гиперкэлерова многообразия.

В сотрудничестве с Америк Вербицкий построил деформации гиперкэлеровых многообразий с большими значениями ${\displaystyle b_{2}}$, допускающие автоморфизмы бесконечного порядка, сохраняющие голоморфную симплектическую форму, и действующие на пространстве когомологий гиперболически или параболически.[27] Также ими были получены результаты в духе гипотезы Моррисона — Каваматы о конусе, например описана геометрия действия группы классов отображений гиперкэлерова многообразия на его обильном конусе.[28]

Вместе с Энтовым Вербицкий получил результаты о симплектических упаковках шаров в гиперкэлеровых многообразиях.[29]

В серии совместных трудов с румынскими геометрами, в особенности Орнеа (который, кстати, также известен на родине не только в качестве математика — но и как театральный критик), Вербицкий впервые систематически исследовал класс локально конформно кэлеровых многообразий — то есть комплексных многообразий, универсальное накрытие которых допускает кэлерову метрику, на которой монодромия действует гомотетиями. Такие метрики существуют на многих интересных некэлеровых комплексных многообразиях, например поверхностях Хопфа, поверхностях Инуэ и многообразиях Ульеклауса — Томы.[30] Ими были получены результаты о вложениях и подмногообразиях LCK-многообразий (обобщающие результаты Симы Вербицкой о кривых и поверхностях, лежащих на многообразиях Ульеклауса — Томы), а также о топологии LCK-многообразий некоторого специального класса.

Помимо гиперкэлеровых многообразий, Вербицкий изучал другие типы геометрических структур. Так, он исследовал HKT-многообразия, употребительные в математической физике (кватернионно-эрмитовы многообразия с условием ${\displaystyle \partial \Omega =0}$, более слабым, чем условие гиперкэлеровости), построив в случае тривиального канонического расслоения аналог ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)}$-действия на когомологиях. С его помощью было показано, что гиперкомплексное нильмногообразие, допускающее HKT-метрику, является абелевым.

Для ${\displaystyle G_{2}}$-многообразий, одного из сложнейших классических случаев многообразий неприводимой римановой голономии, Вербицкий построил твисторные пространства, кодирующие ${\displaystyle G_{2}}$-структуру исходного многообразия в своей КР-структуре. Тем самым он обобщил аналогичное явление, обнаруженное Лебрюном для трёхмерных римановых многообразий. Равно как в случае трёхмерных многообразий, эта структура позволила ввести на бесконечномерном пространстве узлов в ${\displaystyle G_{2}}$-многообразии формально интегрируемую почти комплексную структуру.

Также Вербицкому в соавторстве с Пановым и Устиновским принадлежат исследования о подмногообразиях момент-угол многообразий[31], а в соавторстве с Дюмаи и Кампаной — теорема о том, что трёхмерное кэлерово многообразие без нетривиальных подмногообразий есть тор.[32]. Вместе с Курносовым Вербицкий построил аналог формы Бовиля — Богомолова для некэлеровых голоморфно симплектических многообразий.[33]

В совместных работах с Семёном Алескером Вербицкий исследовал кватернионные плюрисубгармонические функции, ими была поставлена кватернионная версия задачи Монжа — Ампера и получены априорные оценки её решений (играющие в HKT-геометрии роль, аналогичную оценкам на решения обычного уравнения Монжа — Ампера в комплексной геометрии).[34] Совместно с Несимом Сибони Вербицкий показал, что иррациональный класс ${\displaystyle \omega }$ на границе кэлерова конуса гиперкэлерова многообразия с условием ${\displaystyle \int \omega ^{n}=0}$ представляется замкнутым положительным потоком единственным образом.