Альтернатива Титса
Альтернатива Титса — теорема о строении конечно порожденных линейных групп. Названа в честь Жака Титса.
Формулировка
Пусть конечно порождённая линейная группа над некоторым полем. Тогда для выполняется в точности одно из следующих утверждений
- Либо почти разрешима, то есть содержит разрешимую подгруппу конечного индекса.
- Либо содержит подгруппу, изоморфную свободной группе с двумя образующими.
Следствия
- Линейная группа не аменабельна, тогда и только тогда, когда она содержит неабелеву свободную группу.
- Иначе говоря, гипотеза фон Неймана справедлива и для линейных групп.
- Альтернатива Титса является важным компонентом в доказательстве теоремы Громова о группах полиномиального роста.
Вариации и обобщения
Говорят, что группа удовлетворяет альтернативе Титса, если для каждая подгруппы почти разрешима или содержит неабелеву свободную подгруппу. Иногда в определении дополнительно предполагают, что конечно порождена.
Примеры групп, удовлетворяющих альтернативе Титса, включают линейные группы, а также:
Примеры групп, не удовлетворяющих альтернативе Титса:
О доказательстве
В доказательстве рассматривают замыкание группы в топологии Зарисского. Если разрешима, то и группа разрешима. В противном случае переходят к рассмотрению образа в компоненте Леви . Если она некомпактна, то пинг-понг лемма завершает доказательство. Если она компактна, то либо все собственные значения элементов в образе корни единицы, а значит, образ конечен, или можно найти вложение, для которого применима пинг-понг лемма.
Примечания
- Ivanov, Nikolai. Algebraic properties of the Teichmüller modular group (англ.) // Dokl. Akad. Nauk SSSR : journal. — 1984. — Vol. 275. — P. 786—789.
- McCarthy, Jenny. A "Tits-alternative" for subgroups of surface mapping class groups (англ.) // Trans. Amer. Math. Soc. : journal. — 1985. — Vol. 291. — P. 583—612. — doi:10.1090/s0002-9947-1985-0800253-8.
- Bestvina, Mladen; Feighn, Mark; Handel, Michael. The Tits alternative for Out(Fn) I: Dynamics of exponentially-growing automorphisms (англ.) // Annals of Mathematics : journal. — 2000. — Vol. 151, no. 2. — P. 517—623. — doi:10.2307/121043. — arXiv:math/9712217. — .
Ссылки
- Tits, J. Free subgroups in linear groups (неопр.) // Journal of Algebra. — 1972. — Т. 20, № 2. — С. 250—270. — doi:10.1016/0021-8693(72)90058-0.