Гипотеза фон Неймана

Любая неаменабельная группа содержит подгруппу, изоморфную свободной группе с двумя образующими.

• В 1929 году, во время его работы над парадоксом удвоения шара, Джон фон Нейман ввёл понятие аменабельной группы. Он доказал, что любая группа, содержащая свободную подгруппу ранга 2, не является аменабельной. Предположение о том, что верно и обратное, было сделано несколькими математиками в 1950-х и 1960-х годах.
  • Хотя эта гипотеза носит имя фон Неймана, первая публикация с её формулировкой дана Махлоном Маршем Дэйем в 1957 году.

• Альтернатива Титса, доказанная в 1972 году, даёт положительный ответ в случае, если группа линейна, то есть является подгруппой группы матриц над некоторым полем.

• Гипотеза была опровергнута Ольшанским в 1980 году. Он показал, что монстр Тарского, который как легко видеть не имеет свободных подгрупп ранга 2, неаминабельна.

• Два года спустя, Адян показал, что определённые Бернсайдовские группы также дают контрпример.

• Возможным контрпримером является группа Томпсона F, но до сих пор не известно, является ли она аминабельной.

• Ни одна из групп перечисленных выше не является конечно заданной. В течение нескольких лет считалось, что, возможно, гипотеза верна для конечно представленных групп. Однако в 2003 году, Ольшанский и Сапир построили конечно-представленные контрпримеры.

• В 2012 году Николас Монод нашёл простой контрпример к гипотезе.

• В 2013 году Лодха и Мур нашли конечно-представленные подгруппы в примере Монода, которые также дают контрпример.
  • Последний пример является первым примером без кручения, он допускает задание с тремя образующими и девятью соотношениями.
  • Лодха позже показал, что эта группа ${\displaystyle G}$ удовлетворяет свойству ${\displaystyle F_{\infty }}$, то есть её K(G,n) пространство имеет конечное число клеток каждой размерности.

• Адян С.И. Случайные блуждания на свободных периодических группах (рус.) // Изв. АН СССР. Серия математическая. — Т. 46, вып. 6. — С. 1139–1149.
• Day, Mahlon M. (1957), Amenable semigroups, Ill. J. Math. Т. 1: 509–544
• А. Ю. Ольшанский. К вопросу о существовании инвариантного среднего на группе (рус.) // УМН. — 1980. — Т. 35, № 4(214). — С. 199—200.
• Ol'shanskii, A. & Sapir, M. (2003), Non-amenable finitely presented torsion-by-cyclic groups, Publications Mathématiques de l'IHÉS Т. 96 (1): 43–169, DOI 10.1007/s10240-002-0006-7
• Monod, N. (2013), Groups of piecewise projective homeomorphisms, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America Т. 110 (12): 4524–4527, DOI 10.1073/pnas.1218426110
• Lodha, Y. & Moore, J.T., A non amenable finitely presented group of piecewise projective homeomorphisms
• Lodha, Y., A type ${\displaystyle F_{\infty }}$ group of piecewise projective homeomorphisms