Аддитивная теория чисел

Аддити́вная тео́рия чи́сел — раздел теории чисел, возникший при изучении задач о разложении целых чисел на слагаемые заданного вида[1] (например, на простые числа. фигурные числа, е степени и т. п.).

Среди классических проблем, исследование которых заложило фундамент аддитивной теории чисел, можно назвать следующие[1].

Решение этих проблем осложняется тем, что в формулировках одновременно участвуют несколько базовых операций с натуральными числами:

  • (мультипликативные) — деление, с помощью которого определяются простые числа, и умножение, формирующее квадраты, кубы и т. д.;
  • (аддитивные) — сложение.

Связь между аддитивными и мультипликативными свойствами чисел чрезвычайно сложна, и эта сложность ответственна за трудности при решении многих проблем теории чисел[2].

Современная аддитивная теория чисел включает широкий круг задач по исследованию абелевых групп и коммутативных полугрупп с операцией сложения[3]. Аддитивная теория чисел тесно связана с комбинаторной теорией чисел (особенно с аддитивной комбинаторикой)[4] и с геометрией чисел, в ней применяются аналитические, алгебраические и вероятностные методы. В зависимости от методов решения, аддитивные задачи входят составной частью в другие разделы теории чисел — аналитическую теорию чисел, теорию алгебраических чисел, вероятностную теорию чисел[1].

История

Первые систематические результаты в аддитивной теории чисел были получены Леонардом Эйлером, который опубликовал в 1748 году исследование (с помощью степенных рядов) разложения натуральных чисел на натуральные слагаемые; в частности, им была рассмотрена задача о разложении числа на заданное количество слагаемых и доказана теорема о пятиугольных числах[5]. В этот же период возникли две классические проблемы аддитивного типа: проблема Гольдбаха и проблема Варинга, в дальнейшем появились десятки новых задач.

Для решения многих из этих проблем оказались полезны такие общие инструменты, как круговой метод Харди-Литтлвуда, метод решета[6] и метод тригонометрических сумм. Гильберт доказал[7], что для любого целого числа любое натуральное число является суммой ограниченного числа слагаемых в степени . Лев Шнирельман в 1930 году ввёл понятие плотности последовательности натуральных чисел, что позволило существенно продвинуться в решении проблемы Гольдбаха и доказать обобщённую теорему Варинга[8]..

Григорий Фрейман в 1964 году доказал важную теорему из области аддитивной комбинаторики.

Современное состояние

Подмножество называется (асимптотическим) аддитивным базисом[9] конечного порядка , если любое достаточно большое натуральное число может быть записано как сумма не более элементов . Например, натуральные числа сами являются аддитивным базисом порядка 1, поскольку каждое натуральное число тривиально является суммой не более одного натурального числа. Менее тривиальна теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов, показавшая, что множество квадратных чисел является аддитивным базисом четвёртого порядка. Другой весьма нетривиальный и широко известный результат в этом направлении — теорема Виноградова о том, что любое достаточно большое нечётное натуральное число можно представить как сумму трёх простых чисел[10].

Многие современные исследования в этой области касаются свойств общих асимптотических базисов конечного порядка. Например, множество называется минимальным асимптотическим базисом порядка если является асимптотическим базисом порядка , но никакое собственное подмножество не является асимптотическим базисом порядка . Доказано[11], что минимальные асимптотические базисы порядка существуют для всякого , а также существуют асимптотические базисы порядка , не содержащие минимальных асимптотических базисов порядка .

Рассматривается также проблема — насколько можно уменьшить количество представлений в виде суммы элементов асимптотического базиса. Этому посвящена до сих пор не доказанная гипотеза Эрдёша — Турана (1941 год)[12].

См. также

Примечания
  1. Математическая энциклопедия, 1977, с. 91.
  2. Математика, её содержание, методы и значение (в трёх томах). — 1956. — Т. 2. — С. 225. — 397 с.
  3. Mann, 1976.
  4. Tao, 2006.
  5. On Euler's Pentagonal Theorem at MathPages.
  6. Математическая энциклопедия, 1984, с. 979.
  7. Карацуба А. А. Проблема Гильберта — Камке в аналитической теории чисел. Дата обращения: 1 декабря 2020.
  8. Математика в СССР за тридцать лет. 1917—1947 / Под ред. А. Г. Куроша, А. И. Маркушевича, П. К. Рашевского. — М.—Л.: Гостехиздат, 1948. — С. 56—57. — 1044 с.
  9. Bell, Jason; Hare, Kathryn & Shallit, Jeffrey (2018), When is an automatic set an additive basis?, Proceedings of the American Mathematical Society, Series B Т. 5: 50—63, DOI 10.1090/bproc/37
  10. Карацуба А. А. Эйлер и теория чисел // Современные проблемы математики. Вып. 11. — М.: МИАН, 2008. — С. 19—37. — 72 с. — ISBN 5-98419-027-3.
  11. Nathanson M. B. Minimal bases and maximal nonbases in additive number theory // J. Number Theory. — 1974. — Vol. 6, no. 4. — P. 324—333.
  12. Grekos G., Haddad L., Helou C., Pihko J. On the Erdős–Turán conjecture // J. Number Theory. — 2003. — Vol. 102, no. 2. — P. 339—352.

Литература

Ссылки
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.