XSL-атака

В 2001 году Нильс Фергюсон, Ричард Шроппель (R. Schroeppel) и Даг Вайтинг (D. Whiting) опубликовали статью[4], в которой смогли представить запись шифра Rijndael в виде алгебраической формулы, используя представления линейных частей шифра и нелинейных S-блоков в виде уравнений высокого порядка . Они пришли к выводу, что все симметричные блочные шифры могут быть приведены к многомерному уравнению над некоторым конечным полем. Они же задались вопросом, поможет ли знание об алгебраической форме помочь взломать шифр. Если в функции, выражающей S-блоки, не учитывать аргументы в степени -1, тогда шифр становится аффинным и легко взламывается другими способами, не требующими линеаризации. Если же приравнять эти аргументы ${\displaystyle 1/x}$ к ${\displaystyle x^{254}}$, то уравнение получается полиномиально сложным.

В те годы появлялось множество атак на открытые ключи: атака на систему Мацумото-Имаи[5], атака на HFE[6]. Эти атаки завершались успехом сразу после раскрытия факта (теоретического или экспериментального) существования дополнительных уравнений многих переменных, которые не очевидны и не были предусмотрены разработчиками оригинального шифра[7].

Ади Шамир в 1998 показал, что квадратные уравнения многих переменных (MQ) — NP-полная задача[8]. Её сложность заметно снижается, когда уравнения становятся переопределены[7]. В первом исследовании Николя Куртуа и Юзеф Пепшик показывают, что получаемые MQ — разрежены и имеют регулярную структуру[7].

2 декабря 2002 года на ASIACRYPT-2002 Николя Куртуа и Юзеф Пепшик выступили со статьёй "Cryptanalysis of block ciphers with overdefined systems of equations", где впервые представили две вариации метода XSL-атаки[9]. Выводом из этой работы служит то, что стойкость AES опирается только на невозможность на данный момент решить систему уравнений, описывающую алгебраическую структуру шифра.

Обобщая класс SP-шифров, которые состоят из S-блоков и функций перемешивания бит (permutation of bits), Куртуа и Пепчик обозначили новый класс SA-шифров, который состоит из S-блоков и аффинных функций[10]. Согласно исследованию Ади Шамира и Алекса Бирюкова атаки на SA-шифры не зависят от свойств определенного S-блока[11]. После в статье был введён XSL-шифр класса SA, который описывает структуру типового блочного шифра, для которого метод может быть применён.

Структура шифрования состоит из ${\displaystyle N}$раундов:

1. ${\displaystyle X:}$ в раунде ${\displaystyle i=1}$ проводится операция ${\displaystyle XOR}$ открытого текста с сессионым ключом ${\displaystyle K_{i-1}}$
2. ${\displaystyle S:}$ Результат разделяется на блоки по ${\displaystyle s}$ бит. Каждый такой блок параллельно поступает на вход некоторого числа B биективных S-блоков.
3. ${\displaystyle L:}$ потом применяем линейный рассеивающий слой.
4. ${\displaystyle X:}$ применяем операцию ${\displaystyle XOR}$ к следующему сессионному ключу ${\displaystyle K_{i}}$
5. если ${\displaystyle i=N}$ прерываем цикл, в противном случае переходим к следующей итерации по ${\displaystyle i}$ и возвращаемся к шагу ${\displaystyle S}$.

S-блоки шифров Rijndael и Serpent могут быть представлены в виде некоторой функции многих переменных высоких степеней[12], метод Куртуа понижает степень функции до некоторого числа ${\displaystyle d}$, где ${\displaystyle d}$ обычно выбирается равным 2, с помощью расширения пространства аргументов. Особый интерес имеет количество таких функций ${\displaystyle r}$. Если ${\displaystyle r=s}$, такие уравнения достаточно описывают S-блок. Если же ${\displaystyle r>>s}$, тогда говорим, что система переопределена.

Существует два типа XSL-атак. Первый (общий) оперирует с XSL-шифрами, независимо от алгоритма расписания ключей (см. key schedule). Тогда алгоритм требует такое число шифротекстов, сколько внутри шифра существует S-блоков. Второй вариант XSL-атаки учитывает, что известен алгоритм расписания ключей, поэтому требует всего один шифротекст[13].

Каждый раунд работы S-блока записывается в виде уравнения:

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i,j}\alpha _{ijk}*X_{ij}*Y_{jk}+\sum _{i,j}\beta _{ij}*X_{ij}+\sum _{i,j}\gamma _{ij}*Y_{ij}+\delta =0}}$

где ${\displaystyle X_{ij}}$- биты на входе ${\displaystyle i}$- ого S-блока, ${\displaystyle Y_{ik}}$- биты на выходе ${\displaystyle i}$- ого S-блока.

Далее выбирается критический параметр атаки ${\displaystyle P\in \mathbb {N} }$. Во время атаки уравнение каждого S-блока будет умножаться на все возможные одночлены подмножества ${\displaystyle (P-1)}$ оставшихся S-блоков. Причем при изменении числа раундов шифра параметр ${\displaystyle P}$ должен возрастать не сильно, как показали эксперименты Куртуа и Пепшика[14].

Далее для нахождения системы, для которой существует единственное решение, записывается новое уравнение:

${\displaystyle X_{i,j}\bigoplus \sum \alpha _{j}Y_{i-1,j}=X'_{i,j}\bigoplus \sum \alpha _{j}Y'{i-1,j}=X''_{i,j}\sum \alpha _{j}Y''_{i-1,j}=...}$

Цель всех этих преобразований — привести систему уравнений к линейной переопределенной системе, в которой нет очевидных линейно зависимых уравнений.

Метод алгебраических атак показался многообещающим для криптоанализа, так как не требовал большого числа шифротекстов в теории и предлагал взлом наиболее используемого стандарта шифрования (AES). В течение пяти лет вышло много исследований на тему работоспособности XSL-атак.

Так, в работе Карлоса Сида (Carlos Cid) и Г. Лорен (Ga¨etan Leurent) был разобран второй вариант XSL-атаки из оригинальной статьи — compact XSL — на AES-128[15]. В статье были разобраны примеры, при которых данный алгоритм рушится в так называемом T-блоке, который используется для расширения пространства переменных. Однако учёные сделали вывод, что XSL подход — первая попытка найти уязвимость в структурной части AES-шифра.

Например, в работе Chu-Wee Lim и Khoongming Khoo [16] исследуется попытка взлома приложения BES (Big Encryption System) к AES. Это расширение переводит все вычисления в поле ${\displaystyle {GF_{256}}}$, что, соответственно, должно уменьшать количество операций. Однако теоретические расчёты показали, что сложность алгоритма для BES-шифра повышается. Сложность для вариантов BES:

• BES-128: ${\displaystyle \approx 2^{401}}$
• BES-192: ${\displaystyle \approx 2^{622}}$
• BES-256: ${\displaystyle \approx 2^{691}}$

Было установлено, что XSL-атака не эффективна против BES-шифров.