Функция Веблена

применение правила 2	применение правила 5
${\displaystyle \varphi _{1}(0)[0]=\varepsilon _{0}[0]=0}$	${\displaystyle \varphi _{1}(1)[0]=\varphi _{1}(0)+1=\varepsilon _{0}+1=\varepsilon _{1}[0]}$
${\displaystyle \varphi _{1}(0)[1]=\varphi _{0}(\varphi _{1}(0)[0])=\varphi _{0}(0)=\omega ^{0}=1}$	${\displaystyle \varphi _{1}(1)[1]=\varphi _{0}(\varphi _{1}(1)[0])=\varepsilon _{1}[1]=\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}$
${\displaystyle \varphi _{1}(0)[2]=\varphi _{0}(\varphi _{1}(0)[1])=\omega ^{1}=\omega }$	${\displaystyle \varphi _{1}(1)[2]=\varphi _{0}(\varphi _{1}(1)[1])=\varepsilon _{1}[2]=\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}}$
${\displaystyle \varphi _{1}(0)[3]=\varphi _{0}(\varphi _{1}(0)[2])=\omega ^{\omega }}$	${\displaystyle \varphi _{1}(1)[3]=\varphi _{0}(\varphi _{1}(1)[2])=\varepsilon _{1}[3]=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}}}$
${\displaystyle \varphi _{1}(0)[4]=\varphi _{0}(\varphi _{1}(0)[3])=\omega ^{\omega ^{\omega }}}$	${\displaystyle \varphi _{1}(1)[4]=\varphi _{0}(\varphi _{1}(1)[3])=\varepsilon _{1}[4]=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}}}}$
${\displaystyle \varphi _{2}(0)[4]=\varphi _{1}(\varphi _{1}(\varphi _{1}(\varphi _{1}(0))))=\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{0}}}}=\zeta _{0}[4]}$	${\displaystyle \varphi _{2}(1)[4]=\varphi _{1}(\varphi _{1}(\varphi _{1}(\varphi _{1}(\varphi _{2}(0)+1))))=\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\zeta _{0}+1}}}}=\zeta _{1}[4]}$
${\displaystyle \varphi _{3}(0)[4]=\varphi _{2}(\varphi _{2}(\varphi _{2}(\varphi _{2}(0))))=\zeta _{\zeta _{\zeta _{\zeta _{0}}}}=\eta _{0}[4]}$	${\displaystyle \varphi _{3}(1)[4]=\varphi _{2}(\varphi _{2}(\varphi _{2}(\varphi _{2}(\varphi _{3}(0)+1))))=\zeta _{\zeta _{\zeta _{\zeta _{\eta _{0}+1}}}}=\eta _{1}[4]}$

${\displaystyle \varphi _{0}(3)[n]=\omega ^{2}\cdot n}$ (правило 1)

${\displaystyle \varphi _{0}(\varphi _{0}(1))[n]=\varphi _{0}(\varphi _{0}(1)[n])=\omega ^{\omega [n]}=\omega ^{n}}$ (Правила 1 и 3)

${\displaystyle \varphi _{1}(\omega )[n]=\varphi _{1}(\omega [n])=\varphi _{1}(n)=\varepsilon _{n}}$ (правило 3)

${\displaystyle \varphi _{1}(\varphi _{1}(0))[n]=\varphi _{1}(\varphi _{1}(0)[n])=\varphi _{1}(\varepsilon _{0}[n])=\varepsilon _{\omega \uparrow \uparrow (n-1)}}$ (правило 3)

${\displaystyle \varphi _{\varphi _{0}(1)}(0)[n]=\varphi _{\omega }(0)[n]=\varphi _{\omega [n]}(0)=\varphi _{n}(0)}$ (правила 1 и 4)

${\displaystyle \varphi _{\varphi _{1}(0)}(0)[3]=\varphi _{\varepsilon _{0}}(0)[3]=\varphi _{\varepsilon _{0}[3]}(0)=\varphi _{\omega ^{\omega }}(0)}$ (правило 4)

Соответствующие примеры для быстрорастущей иерархии:

${\displaystyle f_{\varphi _{1}(0)}(4)=f_{\varphi _{1}(0)[4]}(4)=f_{\omega ^{\omega ^{\omega }}}(4)}$

${\displaystyle f_{\varphi _{1}(1)}(3)=f_{\varphi _{1}(1)[3]}(3)=f_{\omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}}}(3)}$

Функция Γ перечисляет ординалы ${\displaystyle \alpha ,}$ такие что ${\displaystyle \varphi _{\alpha }(0)=\alpha .}$ Наименьший ординал ${\displaystyle \alpha ,}$ для которого выполняется это условие, называется ординалом Фефермана ${\displaystyle \Gamma _{0}.}$ Фундаментальная последовательность для него определяется следующими выражениями:

• ${\displaystyle \Gamma _{0}[0]=0\,}$ и ${\displaystyle \Gamma _{0}[n+1]=\varphi _{\Gamma _{0}[n]}(0).}$
• Для ${\displaystyle \Gamma _{\beta +1}}$ верно ${\displaystyle \Gamma _{\beta +1}[0]=\Gamma _{\beta }+1}$ и ${\displaystyle \Gamma _{\beta +1}[n+1]=\varphi _{\Gamma _{\beta +1}[n]}(0).}$
• Если ${\displaystyle \beta }$ — предельный ординал и ${\displaystyle \beta <\Gamma _{\beta },}$ тогда ${\displaystyle \Gamma _{\beta }[n]=\Gamma _{\beta [n]}.}$

Функция Веблена ${\displaystyle \varphi _{\alpha }(\beta )}$ также может быть представлена в виде функции ${\displaystyle \varphi (\alpha ,\beta )}$ двух аргументов. Веблен показал, как обобщить определение для того, чтобы получить функцию ${\displaystyle \varphi (\alpha _{n},\alpha _{n-1},...,\alpha _{0})}$ для произвольного числа аргументов, а именно:

• ${\displaystyle \varphi (\alpha )=\omega ^{\alpha }}$ для случая одной переменной,
• ${\displaystyle \varphi (0,\alpha _{n-1},...,\alpha _{0})=\varphi (\alpha _{n-1},...,\alpha _{0}),}$ и
• для ${\displaystyle \alpha >0,\,\gamma \mapsto \varphi (\alpha _{n},...,\alpha _{i+1},\alpha ,0,...,0,\gamma )}$ — это функция, перечисляющая общие неподвижные точки функций ${\displaystyle \xi \mapsto \varphi (\alpha _{n},...,\alpha _{i+1},\beta ,\xi ,0,...,0)}$ для всех ${\displaystyle \beta <\alpha .}$

Например, ${\displaystyle \varphi (1,0,\gamma )}$ — это ${\displaystyle \gamma }$-я неподвижная точка функций ${\displaystyle \xi \mapsto \varphi (0,\xi ,0)=\varphi (\xi ,0),}$ а именно ${\displaystyle \Gamma _{\gamma }.}$

• ${\displaystyle \varphi (1,0,0)=\Gamma _{0}}$ — ординал Фефермана.
• ${\displaystyle \varphi (1,0,0,0)}$ — ординал Аккермана.
• Предел для ${\displaystyle \varphi (1,0,...,0,0)}$ — малый ординал Веблена.