Формула Лейбница для определителей

Формула Лейбница — выражение для определителя квадратной матрицы ${\displaystyle A=(a_{i,j})}$ размера ${\displaystyle n\times n}$ через перестановки её элементов:

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\tau \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\tau (i)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i),i},}$

где ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ — функция знака перестановки в группе перестановок ${\displaystyle S_{n}}$, которая возвращает +1 или −1 для чётных и нечётных перестановок соответственно.

С использованием символа Леви-Чивиты и соглашений о суммировании Эйнштейна:

${\displaystyle \det(A)=\epsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}{a}_{1i_{1}}\cdots {a}_{ni_{n}}}$.

Названа в честь Готфрида Лейбница, который ввёл понятие определителя и способ его вычисления в 1678 году.

Единственная знакопеременная мультилинейная функция, обращающаяся в единицу на единичной матрице — это функция, определённая формулой Лейбница[1]; таким образом, определитель может быть однозначно определён как знакопеременная мультилинейная функция, полилинейная относительно столбцов, и обращающаяся в единицу на единичной матрице.