Теорема о повороте плоской кривой

Теорема о повороте плоской кривой — дифференциально геометрический вариант теоремы о сумме углов многоугольника; частный случай формулы Гаусса — Бонне. Одно из доказательств принадлежит Хайнцу Хопфу, в честь которого эта теорема иногда называется.[1] [2]

Формулировка

Полный поворот (то есть интеграл ориентированной кривизны) простой плоской замкнутой гладкой регулярной кривой равен $\pm 2{\cdot }\pi$ . Причём он равен $+2{\cdot }\pi$ , если ограниченная область лежит слева от кривой и $-2{\cdot }\pi$ в противоположном случае.

Вариации и обобщения

Теорема Фенхеля о повороте кривой

Замечания

Интеграл ориентированной кривизны плоской замкнутой гладкой регулярной кривой всегда кратен $2{\cdot }\pi$ . По теореме любая такая кривая с интегралом ориентированной кривизны, отличным от $\pm 2{\cdot }\pi$ должна иметь самопересечения.

Примечания

Heinz Hopf: Über die Drehung der Tangenten und Sehnen ebener Kurven. Composito Math. (1935), Band 2, S. 50–62.
Hopf H. Differential geometry in the large. — Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1000. Berlin: Springer, 1983.

Литература

Топоногов, В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 978-5-89155-213-5.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Heinz Hopf: Über die Drehung der Tangenten und Sehnen ebener Kurven. Composito Math. (1935), Band 2, S. 50–62.

[2] Hopf H. Differential geometry in the large. — Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1000. Berlin: Springer, 1983.