Теорема Фенхеля о повороте кривой

Теорема Фенхеля утверждает, что вариация поворота любой замкнутой кривой не меньше $2{\cdot }\pi$ и равенство достигается только в случае выпуклой плоской кривой. В частности, средняя кривизна замкнутой кривой длины $\ell$ не может быть меньше $2{\cdot }\pi /\ell$ .

Теорема доказана Вернером Фенхелем.[1]

О доказательстве

Обычно доказательство строится на утверждении, что сферическая кривая длины меньше чем $2{\cdot }\pi$ лежит в открытой полусфере. Это утверждение можно доказать например применением формулы Крофтона, но известны и более элементарные доказательства.

Остаётся заметить что кривая образованная единичными касательными векторами (касательная индикатриса) к исходной кривой не может лежать в открытой полусфере. Значит её длина не меньше $2{\cdot }\pi$ , длина же этой кривой совпадает с интегралом кривизны.

Вариации и обобщения

Лемма Решетняка о хорде Если регулярная гладкая $\gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ $\text{[math]}$ подходит к своей хорде $[\gamma (a),\gamma (b)]$ $\text{[math]}$ под углами $\alpha$ $\text{[math]}$ и $\beta$ $\text{[math]}$ , то поворот кривой $\gamma$ $\text{[math]}$ хотя бы $\alpha +\beta$ $\text{[math]}$ .
- Это утверждение легко следует из теоремы Фенхеля, но зачастую его удобней использовать. Например сама теорема Фенхеля следует если применить лемму к разбиению замкнутой кривой на две дуги.

Теорема Фари — Милнора

Теорема о повороте плоской кривой

Примечания

W. Fenchel (1929) Über Krümmung und Windung geschlossener Raumkurven (недоступная ссылка), Mathematische Annalen 101: 238—252.

Литература

Топоногов, В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 978-5-89155-213-5.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] W. Fenchel (1929) Über Krümmung und Windung geschlossener Raumkurven (недоступная ссылка), Mathematische Annalen 101: 238—252.