Теорема Сарда

Как показал Х. Уитни, степень гладкости ${\displaystyle k}$ здесь не может быть уменьшена ни при каких сочетаниях ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n.}$[6] [7]

Доказательство. Без ограничения общности будем считать отрезок ${\displaystyle [a,b]=[0,1].}$ Выберем число ${\displaystyle \varepsilon >0}$ и разобьём отрезок ${\displaystyle [0,1]}$ на ${\displaystyle n}$ равных частей так, чтобы на каждой из них колебание производной ${\displaystyle f'}$ не превосходило ${\displaystyle \varepsilon .}$ Это можно сделать в силу того, что по условию леммы, функция ${\displaystyle f'}$ непрерывна на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$, и следовательно (Теорема о равномерной непрерывности), равномерно непрерывна на нём, т. е. ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x_{1},x_{2}\in [0,1]:\ |x_{1}-x_{2}|<\delta \Rightarrow |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon .}$

Обозначим через ${\displaystyle \Delta _{i}}$ те отрезки (части сделанного выше разбиения), которые содержат хотя бы одну критическую точку функции ${\displaystyle f,}$ т. е. ${\displaystyle \exists \xi _{i}\in \Delta _{i}\$ :\ f'(\xi _{i})=0.} Очевидно, что для таких отрезков справедлива оценка ${\displaystyle |f'(x)|\leqslant \varepsilon }$ для всех ${\displaystyle x\in \Delta _{i}}$, и следовательно (Формула конечных приращений), для любых двух точек ${\displaystyle y_{1},y_{2}\in f(\Delta _{i})}$ выполнено неравенство ${\displaystyle |y_{1}-y_{2}|\leqslant \max _{x\in \Delta _{i}}|f'(x)|\cdot |\Delta _{i}|\leqslant \varepsilon /n.}$

Покроем каждое множество ${\displaystyle f(\Delta _{i})}$ интервалом длины ${\displaystyle 2{\cdot }\varepsilon /n,}$ тогда мы получим покрытие множества всех критических значений интервалами, сумма длин которых не превосходит ${\displaystyle 2{\cdot }\varepsilon /n\cdot n=2{\cdot }\varepsilon .}$ В силу произвольности выбора числа ${\displaystyle \varepsilon }$ это означает, что мера множества критических значений равна нулю.

Пусть ${\displaystyle M^{m}}$ и ${\displaystyle N^{n}}$ — два гладких многообразия положительных размерностей ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle f:M^{m}\to N^{n}}$ — гладкая функция класса ${\displaystyle C^{k},}$ где ${\displaystyle k\geqslant 1.}$ Точка ${\displaystyle x\in M^{m}}$ называется неправильной, если ранг матрицы Якоби функции ${\displaystyle f}$ в ней меньше ${\displaystyle n.}$ Точка ${\displaystyle y\in N^{n}}$ называется неправильной, если ${\displaystyle y=f(x)}$ хотя бы для одной неправильной точки ${\displaystyle x\in M^{m}}$. В случае ${\displaystyle m\geqslant n}$ понятие неправильной точки совпадает с понятием критической точки функции. В случае ${\displaystyle m<n}$ все точки многообразия ${\displaystyle M^{m}}$ являются неправильными.

Эта теорема была доказана советским математиком А. Я. Дубовицким[8][9][10].

Бесконечномерный аналог теоремы Сарда (для многообразий в банаховых пространствах) получен Стивеном Смейлом[11]. Аналоги для отображений пространств Гёльдера и Соболева получены в[12]. Аналог для функций пониженной гладкости получен в[13].