Теорема Риба об устойчивости

В математике Теорема Риба об устойчивости утверждает, что если слоение коразмерности один имеет замкнутый слой с конечной фундаментальной группой, то все его слои замкнуты и имеют конечную фундаментальную группу. Доказана французским математиком Жоржем Рибом.

Теорема Риба о локальной устойчивости

Теорема[1]: Пусть гладкое (класса ) слоение коразмерности на многообразии и компактный слой с конечной группой голономии. Тогда всякая трубчатая окрестность слоя содержит меньшую окрестность , состоящую из целых слоев слоения (т.н. насыщенную окрестность), все слои которой являются компактными и имеют конечную группу голономии. Более того, определена ретракция такая, что для каждого слоя , отображение является конечнолистным накрытием и для каждой точки , прообраз гомеоморфен диску и трансверсален слоям .

В частности, если слой односвязен, то он обладает насыщенной окрестностью, слоение в которой диффеоморфно слоению произведения .

Теорема также может быть сформулирована для некомпактного слоя.[2][3]

Теорема Риба о глобальной стабильности

В теории слоений весьма интересным представляется вопрос о том, как наличие у слоения компактного слоя влияет на глобальную структуру слоения. Для некоторых классов слоений эта задача имеет решение.

Теорема[1]: Пусть гладкое (класса ) слоение коразмерности 1 на замкнутом многообразии . Если имеет компактный слой с конечной фундаментальной группой, то все слои также являются компактными и имеют конечную фундаментальную группу. Если слоение трансверсально ориентируемо, то каждый слой диффеоморфен ; при этом многообразие является тотальным пространством расслоения над окружностью со слоем .

Эта теорема верна также и для многообразия с краем, при условии, что слоение касается некоторых компонент границы, а другим трансверсально.[4]. В этом случае, из неё следует теорема Риба о сфере.

Теорема Риба о глобальной стабильности неверна для слоений коразмерности большей единицы[5]. Однако, для некоторых специальных классов слоений справедливы аналогичные результаты:

  • При наличии специальной трансверсальной структуры:

Теорема[6]: Пусть полное конформное слоение коразмерности на связном многообразии . Если имеет компактный слой с конечной группой голономии, то все слои являются компактными и имеют конечную группу голономии.

Теорема[7]: Пусть голоморфное слоение коразмерности на компактном комплексном кэлеровом многообразии. Если имеет компактный слой с конечной группой голономии, то все слои являются компактными и имеют конечную группу голономии.

Литература

  • И. Тамура. Топология слоений — М: Мир, 1979.
  • Д. Б. Фукс. Слоения — Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом., 18, ВИНИТИ, М., 1981, 151–213

Примечания

  1. G. Reeb, G. Reeb. Sur certaines propriétés toplogiques des variétés feuillétées (фр.). — Paris: Hermann, 1952. — Т. 1183. — (Actualités Sci. Indust.).
  2. T.Inaba, Reeb stability of noncompact leaves of foliations,— Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci., 59:158{160, 1983
  3. J. Cantwell and L. Conlon, Reeb stability for noncompact leaves in foliated 3-manifolds, — Proc. Amer.Math.Soc. 33 (1981), no. 2, 408–410.
  4. C. Godbillon, Feuilletages, etudies geometriques, — Basel, Birkhauser, 1991
  5. W.T.Wu and G.Reeb, Sur les éspaces fibres et les variétés feuillitées, — Hermann, 1952.
  6. R.A. Blumenthal, Stability theorems for conformal foliations, — Proc. AMS. 91, 1984, p. 55- 63.
  7. J.V. Pereira, Global stability for holomorphic foliations on Kaehler manifolds, — Qual. Theory Dyn. Syst. 2 (2001), 381--384.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.