Слоение коразмерности 1

Слоение коразмерности 1 — это разбиение многообразия на непересекающиеся подмножества которые локально выглядят как поверхности уровня гладких регулярных функций.

Определение

На -мерном многообразии задано слоение коразмерности 1, если наделено разбиением на линейно связные подмножества со следующим свойством: в окрестности любой точки из найдется локальная система координат , в которой связные компоненты множества состоят из решений .

Множества называются слоями слоения, — его тотальным пространством.

Слои наделяются топологией, базу которой составляют связные компоненты пересечения слоя с открытыми подмножествами тотального многообразразия . По отношению к этой топологии слой является гладким многообразием, и его включение в тотальное многообразие вложением в слабом смысле.

Связанные определения

Определяющая 1-форма слоения

Определяющая 1-форма слоения в открытом множестве — это гладкая 1-форма , не равная нулю в , ограничение которой на компоненту пересечения любого слоя с тривиально.

Не всякая ненулевая 1-форма определяет слоение в , требуется, чтобы был выполнен критерий интегрируемости Фробениуса:

Гладкая 1-форма , не равная нулю в , определяет слоение тогда и только тогда, когда в выполняется одно из двух эквивалентных условий

  1. существует гладкая 1-форма такая что ,
  2. .

В частности, всякая замкнутая 1-форма определяет слоение.

Если , мы имеем глобальную определяющую форму. Слоение коразмерности 1 определяется глобальной 1-формой в том и только в том случае, если оно ориентируемо, и выбор этой 1-формы приводит к выбору определенной ориентации.

Глобальная определяющая форма может быть замкнутой, , только в том случае, когда многообразие является расслоением над окружностью[1].

Класс Годбийона-Вея

Для ориентируемых слоений коразмерности 1 определяется класс Годбийона — Вея[2]:

Ориентируемое слоение задается глобальной формой , удовлетворяющей условию интегрируемости; следовательно, существует гладкая 1-форма такая что . Классом Годбийона-Вея слоения называется когомологический класс формы .

На трехмерном многообразии можно определить число Годбийона-Вея, оно равно значению класса Годбийона — Вея на фундаментальном гомологическом классе.

Геометрический смысл класса Годбийона — Вея остается неясным — известные в настоящее время теоремы показывают, что слоение с нетривиальным классом Годбийона — Вея являются достаточно запутанными.

Примеры

Наряду со слоением Риба имеются явные конструкции слоений коразмерности 1 на ряде других многообразий, в частности, на всех нечетномерных сферах [3].

Свойства

  • На связном открытом многообразии такое слоение всегда существует[4].
  • На замкнутом многообразии для существования слоения коразмерности 1 необходимо и достаточно, чтобы эйлерова характеристика многообразия была равна нулю, [5].
    • В частности, это справедливо для всех нечетномерных замкнутых многообразий . Для поверхности эйлерова характеристика , поэтому среди всех двумерных поверхностей только на торе существует гладкое слоение.

Литература

  • И. Тамура. Топология слоений — М: Мир, 1979.
  • Д. Б. Фукс. Слоения — Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом., 18, ВИНИТИ, М., 1981, 151–213

Примечания

  1. Tischler D. On fibering certain foliated manifolds over — Topology, v.9, 1970, p.153-154
  2. Godbillon C., Vey J. Un invariant des feuilletages de codimension un — C.r.Acad. sci., 1971, v.273, N2, p.92-95
  3. Lawson H.B. Foliations. — Bull. Amer. Math. Soc., 1974, v.80, N3, p.369-418
  4. Haefliger A. Feuilletages sur les varietes ouvertes. — Topology, 1970, 9, N2, 183—194
  5. Thurston W. Existence of codimension-one foliation. — Ann. Math., 1976, v.104, N2, p.249-268
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.