Слоение коразмерности 1

Слоение коразмерности 1 — это разбиение многообразия на непересекающиеся подмножества которые локально выглядят как поверхности уровня гладких регулярных функций.

Определение

На $n$ -мерном многообразии $M$ задано слоение коразмерности 1, если $M$ наделено разбиением на линейно связные подмножества $L_{\alpha }$ со следующим свойством: в окрестности любой точки из $M$ найдется локальная система координат $x^{1},\dots ,x^{n}:U\to \mathbb {R}$ , в которой связные компоненты множества $L_{\alpha }\cap U$ состоят из решений $x^{n}={const}$ .

Множества $L_{\alpha }$ называются слоями слоения, $M$ — его тотальным пространством.

Слои наделяются топологией, базу которой составляют связные компоненты пересечения слоя с открытыми подмножествами тотального многообразразия $M$ . По отношению к этой топологии слой является гладким многообразием, и его включение в тотальное многообразие вложением в слабом смысле.

Связанные определения

Определяющая 1-форма слоения

Определяющая 1-форма слоения в открытом множестве $U\subset M$ — это гладкая 1-форма $\omega$ , не равная нулю в $U$ , ограничение которой на компоненту пересечения любого слоя с $U$ тривиально.

Не всякая ненулевая 1-форма определяет слоение в $U$ , требуется, чтобы был выполнен критерий интегрируемости Фробениуса:

Гладкая 1-форма $\omega$ , не равная нулю в $U$ , определяет слоение тогда и только тогда, когда в $U$ выполняется одно из двух эквивалентных условий

существует гладкая 1-форма $\eta$ такая что $d\omega =\eta \wedge \omega$ ,
$\omega \wedge d\omega =0$ .

В частности, всякая замкнутая 1-форма определяет слоение.

Если $U=M$ , мы имеем глобальную определяющую форму. Слоение коразмерности 1 определяется глобальной 1-формой в том и только в том случае, если оно ориентируемо, и выбор этой 1-формы приводит к выбору определенной ориентации.

Глобальная определяющая форма $\omega \neq 0$ может быть замкнутой, $d\omega =0$ , только в том случае, когда многообразие является расслоением над окружностью[1].

Класс Годбийона-Вея

Для ориентируемых слоений коразмерности 1 определяется класс Годбийона — Вея[2]:

Ориентируемое слоение $F$ задается глобальной формой $\omega \neq 0$ , удовлетворяющей условию интегрируемости; следовательно, существует гладкая 1-форма $\eta$ такая что $d\omega =\eta \wedge \omega$ . Классом Годбийона-Вея слоения $F$ называется когомологический класс формы $\eta \wedge d\eta$ .

На трехмерном многообразии можно определить число Годбийона-Вея, оно равно значению класса Годбийона — Вея на фундаментальном гомологическом классе.

Геометрический смысл класса Годбийона — Вея остается неясным — известные в настоящее время теоремы показывают, что слоение с нетривиальным классом Годбийона — Вея являются достаточно запутанными.

Примеры

Гладкое расслоение над одномерным многообразием
Нарезка тора $T^{2}$ на окружности или иррациональная обмотка,
Слоение Риба на сфере $S^{3}$

Наряду со слоением Риба имеются явные конструкции слоений коразмерности 1 на ряде других многообразий, в частности, на всех нечетномерных сферах $S^{2k+1}$ [3].

Свойства

На связном открытом многообразии такое слоение всегда существует[4].
На замкнутом многообразии $M$ $\text{[math]}$ для существования слоения коразмерности 1 необходимо и достаточно, чтобы эйлерова характеристика многообразия $\chi (M)$ $\text{[math]}$ была равна нулю, $\chi (M)=0$ $\text{[math]}$ [5].
- В частности, это справедливо для всех нечетномерных замкнутых многообразий $M^{2k+1}$ . Для поверхности $M_{g}^{2}$ эйлерова характеристика $\chi (M_{g}^{2})=2-2g$ , поэтому среди всех двумерных поверхностей только на торе $T^{2}$ существует гладкое слоение.

Литература

И. Тамура. Топология слоений — М: Мир, 1979.

Д. Б. Фукс. Слоения — Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом., 18, ВИНИТИ, М., 1981, 151–213

Примечания

Tischler D. On fibering certain foliated manifolds over $S^{1}$ — Topology, v.9, 1970, p.153-154
Godbillon C., Vey J. Un invariant des feuilletages de codimension un — C.r.Acad. sci., 1971, v.273, N2, p.92-95
Lawson H.B. Foliations. — Bull. Amer. Math. Soc., 1974, v.80, N3, p.369-418
Haefliger A. Feuilletages sur les varietes ouvertes. — Topology, 1970, 9, N2, 183—194
Thurston W. Existence of codimension-one foliation. — Ann. Math., 1976, v.104, N2, p.249-268

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Tischler D. On fibering certain foliated manifolds over $S^{1}$ — Topology, v.9, 1970, p.153-154

[2] Godbillon C., Vey J. Un invariant des feuilletages de codimension un — C.r.Acad. sci., 1971, v.273, N2, p.92-95

[3] Lawson H.B. Foliations. — Bull. Amer. Math. Soc., 1974, v.80, N3, p.369-418

[4] Haefliger A. Feuilletages sur les varietes ouvertes. — Topology, 1970, 9, N2, 183—194

[5] Thurston W. Existence of codimension-one foliation. — Ann. Math., 1976, v.104, N2, p.249-268