Теорема Лапласа

Теоре́ма Лапла́са — одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 — 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году[1], хотя частный случай этой теоремы о разложении определителя по строке (столбцу) был известен ещё Лейбницу.

Формулировка

Для начала, введём несколько определений.

Пусть  — матрица размера , и пусть выбраны любые строк матрицы с номерами и любые столбцов с номерами .

Определитель матрицы, получаемой из вычеркиванием всех строк и столбцов, кроме выбранных, называется минором -го порядка, расположенным в строках с номерами и столбцах с номерами . Он обозначается следующим образом:

А определитель матрицы, получаемой вычеркиванием только выбранных строк и столбцов из квадратной матрицы, называется дополнительным минором к минору :

где и  — номера невыбранных строк и столбцов.

Алгебраическое дополнение минора определяется следующим образом:

где , .

Справедливо следующее утверждение.

Теорема Лапласа

Пусть выбраны любые строк матрицы . Тогда определитель матрицы равен сумме всевозможных произведений миноров -го порядка, расположенных в этих строках, на их алгебраические дополнения.
где суммирование ведётся по всевозможным номерам столбцов

Число миноров, по которым берётся сумма в теореме Лапласа, равно числу способов выбрать столбцов из , то есть биномиальному коэффициенту .

Так как строки и столбцы матрицы равносильны относительно свойств определителя, теорему Лапласа можно сформулировать и для столбцов матрицы.

Разложение определителя по строке (столбцу) (Следствие 1)

Широко известен частный случай теоремы Лапласа — разложение определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Пусть  — квадратная матрица размера . Пусть также задан некоторый номер строки либо номер столбца матрицы . Тогда определитель может быть вычислен по следующим формулам:

Разложение по -й строке:

Разложение по -му столбцу:

где  — алгебраическое дополнение к минору, расположенному в строке с номером и столбце с номером . также называют алгебраическим дополнением к элементу .

Утверждение является частным случаем теоремы Лапласа. Достаточно в ней положить равным 1 и выбрать -ую строку, тогда минорами, расположенными в этой строке будут сами элементы.

Следствие 2 (фальшивое разложение определителя)

Сумма произведений всех элементов некоторой строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой строки (столбца) равна нулю.

Примечания

Литература

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.