Алгебраическое дополнение

Алгебраическое дополнение элемента — это коэффициент, с которым этот самый элемент входит в определитель матрицы. Это утверждается следующей теоремой:

Теорема (о разложении определителя по строке/столбцу). Определитель матрицы ${\displaystyle A}$ может быть представлен в виде суммы

${\displaystyle \det A=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}}$

Для алгебраического дополнения справедливо следующее утверждение:

Лемма о фальшивом разложении определителя. Сумма произведений элементов одной строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (соответственно столбца) равна нулю, то есть ${\displaystyle \ \sum _{j=1}^{n}a_{i_{1}j}A_{i_{2}j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij_{1}}A_{ij_{2}}=0}$ при ${\displaystyle i_{1}\neq i_{2}}$ и ${\displaystyle j_{1}\neq j_{2}}$.

Из этих утверждений следует алгоритм нахождения обратной матрицы:

• заменить каждый элемент исходной матрицы на его алгебраическое дополнение,
• транспонировать полученную матрицу - в результате будет получена союзная матрица,
• разделить каждый элемент союзной матрицы на определитель исходной матрицы.

• Минор
• Дополнительный минор
• Определитель