Локальная теорема Муавра — Лапласа

Теорема Муавра — Лапласа — одна из предельных теорем теории вероятностей, установлена Лапласом в 1812 году. Если при каждом из независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события равна , и  — число испытаний, в которых фактически наступает, то вероятность справедливости неравенства близка (при больших ) к значению интеграла Лапласа.

С ростом n форма биномиальной фигуры распределения становится похожа на плавную кривую Гаусса.

Применение

При рассмотрении количества появлений события в испытаниях Бернулли чаще всего нужно найти вероятность того, что заключено между некоторыми значениями и . Так как при достаточно больших промежуток содержит большое число единиц, то непосредственное использование биномиального распределения

требует громоздких вычислений, так как нужно суммировать большое число определённых по этой формуле вероятностей.

Поэтому используют асимптотическое выражение для биномиального распределения при условии, что фиксировано, а . Теорема МуавраЛапласа утверждает, что таким асимптотическим выражением для биномиального распределения является нормальная функция.

Формулировка

Если в схеме Бернулли стремится к бесконечности, величина постоянна, а величина ограничена равномерно по и (то есть ), то

где .

Приближённую формулу

рекомендуется применять при и при .

Доказательство

Для доказательства теоремы будем использовать формулу Стирлинга из математического анализа:

(1)

где .

При больших величина очень мала, и приближённая формула Стирлинга, записанная в простом виде

(2)

даёт малую относительную ошибку, быстро стремящуюся к нулю при .

Нас будут интересовать значения , не очень отличающиеся от наивероятнейшего. Тогда при фиксированном условие будет также означать, что

(3)

Поэтому использование приближённой формулы Стирлинга для замены факториалов в биномиальном распределении допустимо, и мы получаем

(4)

Также понадобится использование отклонения относительной частоты от наивероятнейшего значения:

(5)

Тогда выражение (4) приобретает вид:

(6)

Предположим, что

(7)

Взяв логарифм второго и третьего множителей равенства (6), применим разложение в ряд Тейлора:

(8)

Располагаем члены этого разложения по степеням :

(9)

Предположим, что при

(10)

Это условие, как уже было указано выше, означает, что рассматриваются значения не очень далёкие от наивероятнейшего. Очевидно, что (10) обеспечивает выполнение (7) и (3).

Теперь, пренебрегая вторым и последующими членами в разложении (6), получаем, что логарифм произведения второго и третьего членов произведения в правой части (8) равен

(11)

Отбрасывая малые слагаемые в скобках первого множителя (6), получаем

(12)

Обозначив

(13)

переписываем (12) в виде

(14)

Где  — нормальная функция.

Поскольку в интервале имеется только одно целое число , то можно сказать, что есть вероятность попадания в интервал . Из (5) следует, что изменению на 1 соответствует изменение на

(15)

Поэтому вероятность попадания в интервал равна вероятности попадания в промежуток

(16)

Если , то и равенство (16) показывает, что нормальная функция является плотностью случайной переменной .

Таким образом, если то для отклонения относительной частоты от наивероятнейшего значения справедлива асимптотическая формула (16), в которой  — нормальная функция с и .

Таким образом, теорема доказана.

Литература

  • Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика, — М.: Высшее образование. 2005
  • Ширяев А. Н. Вероятность, — М.: Наука. 1989.
  • Чистяков В. П. Курс теории вероятностей, — М., 1982.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.