Правила Кирхгофа

Если цепь содержит ${\displaystyle p}$ узлов, то она описывается ${\displaystyle p-1}$ уравнениями токов. Это правило может применяться и для других физических явлений (к примеру, система трубопроводов жидкости или газа с насосами), где выполняется закон сохранения частиц среды и потока этих частиц.

Если цепь содержит ${\displaystyle m}$ ветвей, из которых содержат источники тока ветви в количестве ${\displaystyle m_{i}}$, то она описывается ${\displaystyle m-m_{i}-(p-1)}$ уравнениями напряжений.

• Правила Кирхгофа, записанные для ${\displaystyle p-1}$ узлов или ${\displaystyle m-(p-1)}$ контуров цепи, дают полную систему линейных уравнений, которая позволяет найти все токи и все напряжения.
• Перед тем, как составить уравнения, нужно произвольно выбрать:
  • положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме, при этом не обязательно следить, чтобы в узле направления токов были и втекающими, и вытекающими, окончательное решение системы уравнений всё равно даст правильные знаки токов узла;
  • положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону, с целью единообразия рекомендуется для всех контуров положительные направления обхода выбирать одинаковыми (напр.: по часовой стрелке).
• Если направление тока совпадает с направлением обхода контура (которое выбирается произвольно), падение напряжения считается положительным, в противном случае — отрицательным.
• При записи линейно независимых уравнений по второму правилу Кирхгофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону (достаточное, но не необходимое условие).
• В сложных непланарных графах электрических цепей человеку трудно увидеть независимые контуры и узлы, каждый независимый контур (узел) при составлении системы уравнений порождает ещё 1 линейное уравнение в определяющей задачу системе линейных уравнений. Подсчёт количества независимых контуров и их явное указание в конкретном графе развит в теории графов.

На этом рисунке для каждой ветви обозначен протекающий по ней ток (буквой «I») и напряжение между соединяемыми ею узлами (буквой «U»)

Количество узлов: 3.

${\displaystyle p-1=2}$

Количество ветвей (в замкнутых контурах): 4. Количество ветвей, содержащих источник тока: 0.

${\displaystyle m-m_{i}-(p-1)=2}$

Количество контуров: 2.

Для приведённой на рисунке цепи, в соответствии с первым правилом, выполняются следующие соотношения:

${\displaystyle {\begin{cases}I_{1}-I_{2}-I_{6}=0\\I_{2}-I_{4}-I_{3}=0\end{cases}}}$

Обратите внимание, что для каждого узла должно быть выбрано положительное направление, например, здесь токи, втекающие в узел, считаются положительными, а вытекающие — отрицательными.

Решение полученной линейной системы алгебраических уравнений позволяет определить все токи узлов и ветвей, такой подход к анализу цепи принято называть методом контурных токов.

В соответствии со вторым правилом, справедливы соотношения:

${\displaystyle {\begin{cases}U_{2}+U_{4}-U_{6}=0\\U_{3}+U_{5}-U_{4}=0\end{cases}}}$

Полученные системы уравнений полностью описывают анализируемую цепь, и их решения определяют все токи и все напряжения ветвей. Такой подход к анализу цепи принято называть методом узловых потенциалов.

Правила Кирхгофа имеют прикладной характер и позволяют наряду и в сочетании с другими приёмами и способами (метод эквивалентного генератора, принцип суперпозиции, способ составления потенциальной диаграммы) решать задачи электротехники. Правила Кирхгофа нашли широкое применение благодаря простоте формулировки уравнений и возможности их решения стандартными способами линейной алгебры (методом Крамера, методом Гаусса и др.).

Первое правило Кирхгофа может быть сформулировано в матричном виде. Именно, пусть электрическая цепь состоит из ${\displaystyle n}$ узлов. Составим матрицу ${\displaystyle A=\{a_{ij}\}_{i,j=1}^{n}}$, где ${\displaystyle a_{ij}}$ при ${\displaystyle i\neq j}$ есть проводимость ветви, соединяющей узлы с номерами ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ (если они не соединены, можно мысленно соединить их ветвью нулевой проводимости). При этом ${\displaystyle a_{jj}=\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}(-a_{ij})}$. Пусть ${\displaystyle \varphi }$ — потенциал, который мы рассматриваем как функцию, определённую на множестве узлов (или, что то же самое, вектор ${\displaystyle \mathbf {u} =(\varphi _{1},\varphi _{2},\dots ,\varphi _{n})}$ в ${\displaystyle n}$-мерном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$). Тогда по определению проводимости имеем ${\displaystyle I_{ij}=a_{ij}(\varphi _{i}-\varphi _{j})}$, где ${\displaystyle I_{ij}}$ — ток в ветви, идущей из вершины ${\displaystyle i}$ в вершину ${\displaystyle j}$. Стало быть, первое правило Кирхгофа для ${\displaystyle j}$-того узла можно записать как ${\displaystyle \sum _{i=1,~i\neq j}^{n}I_{ij}=\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}a_{ij}(\varphi _{i}-\varphi _{j})=0}$, или же ${\displaystyle \sum _{i=1,~i\neq j}^{n}a_{ij}\varphi _{i}+\left(\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}(-a_{ij})\right)\varphi _{j}=\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}a_{ij}\varphi _{i}+a_{jj}\varphi _{j}=0}$, или же, учитывая определение диагональных элементов матрицы, как ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{ij}\varphi _{i}=0}$. В левой части равенства легко узнать координату произведения матрицы ${\displaystyle A}$ на вектор-столбец ${\displaystyle \mathbf {u} }$.

Итак, первое правило Кирхгофа в матричном виде гласит:

${\displaystyle {\begin{Vmatrix}a_{11}&a_{21}&\dots &a_{n1}\\a_{12}&a_{22}&\dots &a_{n2}\\...&...&...&...\\a_{1n}&a_{2n}&\dots &a_{nn}\end{Vmatrix}}{\begin{Vmatrix}\varphi _{1}\\\varphi _{2}\\...\\\varphi _{n}\end{Vmatrix}}=0\Leftrightarrow A^{T}\mathbf {u} =\mathbf {0} }$.

В таком виде оно допускает обобщение на проводящие поверхности. У криволинейной поверхности проводимость зависит не только от точки, но и от направления. Иными словами, проводимость является функцией на касательных векторах к поверхности. Если считать, что на касательных пространствах она хорошо приближается положительно определённой квадратичной формой, можно говорить о ней как о римановой метрике ${\displaystyle g}$ (отличающейся от расстояния на поверхности как геометрической форме, учитывающей неизотропность её электрических свойств). Каждая точка поверхности может служить узлом, и потому потенциал будет уже не вектором, а функцией ${\displaystyle u}$ на поверхности. Аналогом же матрицы проводимостей будет оператор Лапласа — Бельтрами ${\displaystyle \Delta _{g}}$ метрики-проводимости, который действует на пространстве гладких функций. Первое правило Кирхгофа для поверхности гласит ровно то же: ${\displaystyle \Delta _{g}u=0}$. Иначе говоря, потенциал есть гармоническая функция.

В связи с этим матрицу ${\displaystyle A}$, сопоставляемую произвольному взвешенному графу, за исключением диагонали равную матрице смежности, иногда называют дискретным лапласианом. Аналоги теорем о гармонических функциях, такие как существование гармонической функции в области с краем при заданных значениях на крае, получающейся свёрткой с некоторым ядром, имеют место и для дискретных гармонических функций. Обратно, проводящая поверхность может быть приближена сеткой сопротивлений, и дискретные гармонические функции на этой сетке приближают гармонические функции на соответствующей поверхности. На этом обстоятельстве основан интегратор Гершгорина, аналоговая вычислительая машина, использовавшаяся для решения уравнения Лапласа в 30-х — 70-х годах XX века.

В случае проводящей поверхности вместо разности потенциалов имеет смысл говорить об 1-форме ${\displaystyle du}$. Связанное с ней при помощи метрики-проводимости векторное поле ${\displaystyle \mathrm {grad} _{g}(u)}$ — и есть электрический ток на этой поверхности. Согласно первому правилу Кирхгофа, эта 1-форма тоже гармонична (то есть лежит в ядре ходжева лапласиана, определённого на дифференциальных формах). Это даёт ключ к тому, как правильно формулировать закон Кирхгофа для случая, когда поле не потенциально: именно, 1-форма, получающаяся из тока, рассматриваемого как векторное поле, при помощи проводимости, рассматриваемой как риманова метрика, должна быть гармонична. Зная электродвижущую силу вокруг каждого топологически нетривиального контура на поверхности, можно восстановить силу и направление тока в каждой точке, притом единственным способом. В частности, размерность пространства всевозможных токов равна размерности пространства топологически нетривиальных контуров. Этот факт был одним из оснований для открытия двойственности Пуанкаре; то обстоятельство, что электродвижущие силы определяют однозначно ток (гармоническую 1-форму), является частным случаем теории Ходжа для 1-форм (теория Ходжа утверждает, что на римановом многообразии всякий класс когомологий де Рама представляется гармонической формой, притом только одной).

Закон излучения Кирхгофа гласит — отношение излучательной способности любого тела к его поглощательной способности одинаково для всех тел при данной температуре для данной частоты для равновесного излучения и не зависит от их формы, химического состава и проч.

Закон Кирхгофа гласит — температурный коэффициент теплового эффекта химической реакции равен изменению теплоёмкости системы в ходе реакции.

• Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм : учебное пособие. — М.: Высшая школа, 1983. — 463 с.
• Калашников С. Г. Электричество : учебное пособие. — М.: Физматлит, 2003. — 625 с.
• Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. — 11-е издание. — М.: Гардарики, 2007.
• Герасимов В. Г., Кузнецов Э. В., Николаева О. В. Электротехника и электроника. Кн. 1. Электрические и магнитные цепи. — М.: Энергоатомиздат, 1996. — 288 с. — ISBN 5-283-05005-X.